====== Schreibweise von Mengen ====== Mengen können in drei verschiedenen Arten aufgeschrieben (dargestellt) werden: - Aufzählung (aufzählende Form) - Mengendiagramm (Venn-/Venn-Euler-Diagramm) - Beschreibende Form ===== Aufzählung ===== Bei der Aufzählung (aufzählende Form) werden die Elemente, die zur Menge gehören mit Strichpunkt (Semikolon) getrennt zwischen geschweifte Klammern geschrieben. Menge `T` der Schüler der Klasse 11a:\\ `T={`Hansi; Beate; Kurt; Ursula; Sigi; Gerd; Renate; ...`}` Menge `G` der geraden Zahlen bis (einschließlich) 10:\\ `G={2; 4; 6; 8; 10}` Menge `U` der ungeraden Zahlen bis (einschließlich) 10:\\ `U={1; 3; 5; 7; 9}` **Hinweise:** * Mengen erhalten große lateinische Buchstaben als Namen. * Es dürfen keine Elemente **doppelt** aufgezählt werden. * Bei sehr vielen Elementen verwendet man **Auslassungspunkte**. Dabei ist zu beachten, dass so viele Elemente aufgeschrieben werden, dass eindeutig erkennbar ist, welche Elemente gemeint sind: \\ `P={3; 6; 9; ...; 21}` oder \\ `Q={...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}` * Die **Reihenfolge** der Elemente spielt **keine Rolle**. Für eine bessere Verständlichkeit ist es aber oft von Nutzen, die Element in einer **sinnvollen Reihenfolge** aufzuschreiben (der Größe nach, nach Alter, nach Alphabet, ...). * Die aufzählende Form ist nur **selten geeignet**. Sie ist oft **unübersichtlich** und **nicht immer eindeutig**. Für einige Betrachtungen ist sie dagegen sehr gut geeignet (Mengenoperationen, Mengen relationen). ===== Mengendiagramm ===== [[http://de.wikipedia.org/wiki/John_Venn|John Venn]] (1834-1923) und [[http://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler|Leonard Euler]] (1707-1783) waren zwei Mathematiker, die sich der mathematischen Lehre der Mengen verschrieben hatten. **Venn-Diagramme** (sie werden auch **Mengendiagramme** oder Venn-Euler-Diagramme genannt) sind recht einfach zu erstellen. Sie haben den Vorteil Beziehungen zwischen Mengen sehr gut zu verdeutlichen. Sie bestehen aus einer **geschlossenen Kurver** (**Blase oder Kreis**), in den alle Elemente geschrieben werden, die zur Menge gehören. Der Name der Menge wird mit einem **Strich** an die Menge geschrieben. Auch hier verwendet man **Auslassungspunkte** für umfangreiche Mengen. Die **Strichpunkte** (Semikola) lässt man weg. Die Beispiele als Mengendiagramm: \\ {{:mathe:lernen:dv9z10:mengendiagramm.png?nolink|}} **Hinweise:** * keine **doppelten Elemente** * **Auslassungspunkte** sind erlaubt, wenn sinnvoll * **Reihenfolge** spielt **keine** Rolle * sinnvoll, um Beziehungen (Relationen) zwischen Mengen zu verdeutlichen ===== Beschreibende Form ===== In der darstellenden Form schreibt man die Eigenschaften der Elemente einer Menge in mathematischer Form auf. Dazu verwendet man verschiedene Symbole, von denen hier einige aufgeführt sind: ^ Zeichen ^ Bedeutung ^ | `<; >; <=; >=; \ne` | **Relationszeichen**: kleiner als, größer als, kleiner oder gleich, größer oder gleich, ungleich | | `|` |hat leider zwei Bedeutungen: **teilt** `2|14` ("2 teilt 14" ohne Rest) und **"mit der Eigenschaft"** (siehe weiter unten)| |`\mathbb{N}; \mathbb{Z}; \mathbb{Q}; \mathbb{R}; \mathbb{P} ...` | **Zahlenmengen**: Natürliche Zahlen, Ganze Zahlen, Rationale Zahlen, Reelle Zahlen (siehe [[leeremenge-unendlichemenge-zahlenmengen|Zahlenmengen]])| |`\in; \notin`|**"ist Element von/ist nicht Element von"**: drückt aus, dass ein Element zu einer Menge gehört/nicht gehört \\ Beispiel: `\text{Hansi} \in T` oder `2 \in G` oder `7 \notin G`| |`\vee`|mathematisches **"Oder"**: **eine von beiden** oder beide Bedingungen müssen erfüllt sein| |`\wedge`|mathematisches **"Und"**: **alle (beide)** Bedingungen muss erfüllt sein| |`{}` oder `\emptyset`|**Leere Menge**: Menge, die keine Elemente enthält| ===== Beispiele ===== ^ Schreibweise ^ Erklärung ^ Aufzählung ^ | `A={x | 2|"Menge `A` sind alle Elemente x, mit der Eigenschaft: **2 ist kleiner als x** und **x ist kleiner als 10** und **x muss eine natürliche Zahl** sein." | `A={3; 4; 5; ...; 9}`| |Um in der Menge `A` enthalten zu sein, muss jedes Element in diesem Beispiel drei Voraussetzungen erfüllen: **1)** Die Zahl muss größer als 2 sein (`2`B={x|x<4 \wedge x>6 \wedge x \in \mathbb{N}}`|"Menge `B` sind alle Elemente x, mit der Eigenschaft: **x muss kleiner als 4 sein** und **x muss größer als 6 sein** und **x muss eine Natürliche Zahl sein**. | `B={}` oder `B=\emptyset`| |Um in der Menge `B` enthalten zu sein, muss jedes Element folgende Eigenschaften haben: **1)** Die Zahl muss kleiner als 4 sein. und **2)** Die Zahl muss größer als 6 sein. und **3)** Die Zahl muss natürlich sein. Da es keine Zahl gibt, die kleiner als 4 **UND** größer als 6 ist, ist die Menge leer.||| |`C={x|x<2 \vee x>10 \wedge x \in \mathbb{Z}}`|"Menge `C` sind alle Elemente x mit der Eigenschaft: **x muss kleiner 2 sein** oder **x muss größer 10 sein.** und **x muss eine ganze Zahl sein.**"|`C={...; -1; 0; 1; 11; 12; 13; ...}`| |Um Element der Menge `C` zu sein, muss eine Zahl folgende Eigenschaften erfüllen: **1)** Sie muss eine Ganze Zahl sein. **UND** **2)** Sie muss kleiner als 2 sein. **ODER** **3)** Sie muss größer als 10 sein. In der Menge sind also alle ganzen Zahlen, die kleiner als 2 sind (`1; 0; -1; -2; ...`) **ODER** die größer als 10 sind (`11; 12; 13; 14; ...`).||| ===== Üben ===== Ordne die Mengen zu, die die gleichen Elemente haben. Achtung! Es bleiben Mengen übrig, die keinen Partner haben. Mach dich erst kundig, welche Menge mit `\mathbb{P}` dargestellt ist und welche Elemente sie enthält. ===== Video ===== **Am besten mit 720-er Auflösung und in Fullscreen!**