====== Hinweise zu den Aufgaben Lehrbuch Klasse 8 Funktionen ======
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Weitere Übungen: [[https://mathe.aufgabenfuchs.de/funktion/funktion.shtml#Fu-Linear|aufgabenfuchs.de]]
* **AB gut durcharbeiten**, evtl. abschreiben, Stichpunkte formulieren!
* Jede Aufgabe mit **Rechnung, Skizze, Rechenweg**!
* **NICHT RATEN!**
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===== 💄 Links zum Thema =====
* [[https://www.youtube.com/playlist?list=PLETJpjbok_dcsflqOBw1zkKwpeUYvxNWr|Gute Playlist mit Videos zum Theme Lineare Funktionen]]
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* [[https://mathe.aufgabenfuchs.de/funktion/funktion.shtml|aufgabenfuchs.de -- Lineare Funktionen]]
* unterricht.de
* [[https://www.unterricht.de/Aufgaben/Lineare-Gleichungen-Einfuehrung/Mittelstufe|LINEARE GLEICHUNGEN - EINFÜHRUNG]]
* [[https://www.unterricht.de/Aufgaben/Lineare-Gleichungen-Fortgeschritten/Mittelstufe|LINEARE GLEICHUNGEN - FORTGESCHRITTEN]]
* [[https://www.unterricht.de/Aufgaben/Einfuehrung-Funktionen/Mittelstufe|EINFÜHRUNG FUNKTIONEN ]]
* [[https://www.unterricht.de/Aufgaben/Lineare-Funktionen/Mittelstufe|LINEARE FUNKTIONEN]]
===== 📘 S. 112: Lineare Funktionen der Form `y=mx+t` =====
==== S. 113/1 ====
* Zeichne nichts ins Lehrbuch.
* Hinweise zu zum „Auszählen“ gibt es in der rechten Spalte.
* Achte auf das Vorzeichen von `m`.
* Schau dir dein `m` an und vergleiche mit den Eigenschaften.
* Kann dein `m` richtig sein?
* Überprüfe dein Ergebnis mit desmos.
S. 113/1 ①
* `t=3`, weil Gerade y-Achse bei `3` schneidet.
* Vom Punkt `(0|3)` `-1` "nach unten" → `Delta y = -1`
* **von dort aus** `-2` "nach links" → `Delta x = -2`
* `m = (Delta y)/(Delta x) = (-1)/(-2) = 1/2`
* Also: `m = 1/2`, `t = 3` → `y=1/2 x + 3`
* Eigenschaften:
* Gerade müsste von I nach III laufen, weil `1/2 > 0` ist: tut sie
* Gerade müsste flach sein, weil `|m| < 1` ist: ist sie
* Gerade müsste y-Achse bei 3 schneiden, weil `t=3`: tut sie
* desmos:
Klicke auf den Graphen für ein großes Bild!
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==== S. 113/2 ====
* Höchstens drei oder vier Funktionen in ein KS (1 cm ≙ 1 LE).
* Schreibe vor jedem Zeichnen: Parameter `m` und `t`, Eigenschaften mit Begründung, y-Achsenabschnitt.
* Prüfe mit desmos.
S. 113/2 ①
* Erstelle eine Wertetabelle mit ca. 5 Werten:
(Bilder anklicken für groß)\\
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* Punkte in KS einzeichnen
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* Punkte mit Gerade verbinden
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* steil: steiler, als `y=x` (`45°`)
* Schreibe dir die Antwort(en) auf Aufgabe b) **genau** auf. Begründe auch anhand vom Parameter `m`
==== S. 113/3 ====
* Zu jeder Teilaufgabe ① bis ⑤ eine gute Begründung :)
* Sind die Geraden Geraden oder nicht?
* Schneiden die Geraden die y-Achse bei `(0|0)` oder bei `(0|t)`?
* ④: ist das eine lineare, eine Proportionale oder eine andere Funktion (Skizze/Diagramm/desmos)?
* Formuliere für jedes Beispiel (① bis ⑤) einen aussagekräftigen Sachverhalt.
* Bei dieser Aufgabe muss man viel denken 😁
==== S. 115/7 ====
* Jeweils höchstens 4 Aufgaben in ein KS.
* Überlege, ob dein `m` und dein `t` zur gezeichneten Geraden passen.
* Prüfe mit desmos.
S. 115/7 b
* Beide Punkte in ein KS einzeichnen.
* Gerade durch beide Punkte.
* `t` ablesen (Schnittpunkt der Geraden mit y-Achse) → `t=6`
* `m` mit Anstiegsdreieck bestimmen:
* vom Punkt `(0|6)` zum Punkt `(2|4)`
* `Delta y = -2` (weil entgegen der y-Achse)
* `Delta x = 2` (weil in Richtung y-Achse)
* `m = (Delta y)/(Delta x) = 2/(-2) = -1`
* → `y=-1 ⋅ x+6` oder besser,\\ weil `-1 ⋅ x = -x`:\\ `y=-x+6`
Bild anklicken für groß)\\
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* Eigenschaften:
* II nach IV, weil `m<0`
* weder steil noch flach ("normal"), weil `|m|=1`
* y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt der Geraden mit y-Achse bei `y=6`, weil `t=6`
==== S. 115/9 ====
* siehe S. 113/1
* desmos!
S. 115/9 a
* `t=-15`, weil die Gerade die y-Achse bei `-15` schneidet
* mehrere Möglichkeiten das Anstiegsdreieck zu erstellen (hier nur zwei):
* rot (vom Punkt `(15|15)` zum Punkt `(5|-5)`):
* `Delta x = -10`
* `Delta y = -20`
* `m=(Delta y)/(Delta x)=(-20)/(-10)=2`
* blau (vom Punkt `(0|-15)` zum Punkt `(5|-5)`):
* `Delta x = 5`
* `Delta y = 10`
* `m=(Delta y)/(Delta x)=(10)/(5)=2`
* → `y=2x-15`
* Prüfen mit desmos!
(Bild anklicken für groß)\\
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===== 📘 S. 114: Geradenschar und Geradenbüschel =====
==== S. 114/4 ====
* Arbeite die Aufgaben genau durch.
* Die Begriffe sind wichtig.
* Prüfe mit desmos.
* Was fällt dir bei den Funktionsgleichungen (D) bis (G) an den Funktionsgleichungen auf?
S. 114/4 b
* Schau dir die Parameter (`m`, `t`) jeder Funktion genau an und entscheide anhand der Eigenschaften, zu welcher Geraden die Funktion passt.
* Beispiel:
* ① `y=2x+1` passt nicht zu (A), weil bei ① `t=1` ist und (A) die y-Achse bei `y=2` schneidet.
* ① passt auch nicht zu (B), weil (B) eine proportionale Funktion ist und damit `t=0` sein müsste.
* ① passt auch nicht zu (C), weil bei (C) `t=-1` ist
* vielleicht (D)? Ok. `t` stimmt schonmal, weil (D) die y-Achse bei `1` schneidet und bei ① `t=1` ist. Außerdem hat (D) den Anstieg `m=2` (von `(0|1)` eins nach rechts (`Delta x = 1`) und zwei nach oben (`Delta y = 1`). `m=(Delta y)/(Delta x)=2/1=2`
* YES! ① ist (D)
==== S. 115/8 ====
* Achtung! „Rechnerisch!“
* Mache die Punktprobe und entscheide.
* Prüfe mit desmos!
S. 115/8 ①
* Beispiel 1: Punkt `A` in ① einsetzen und schauen, ob es eine wahre Aussage ist:
`-3 = 1/3 ⋅ 1 -4`
`-3 = 1/3 - 4`
`-3 = 1/3 - 12/3 = -11/3` (`-3 != -11/3`) f. A. → Punkt `A` **liegt nicht** auf dem Graphen von ①
(f. A. heißt "falsche Aussage")
* Beispiel 2: Punkt `E` in ① einsetzen:
`-3 = 1/3 * 3 - 4`
`-3 = 1 - 4`
`-3 = -3` w. A. → Punkt `E` **liegt** auf dem Graphen von ①
(w. A. heißt "wahre Aussage")
{{:mathebuch:losungen:punktprobe.png?direct&400|}}
==== S. 115/10 ====
* Setze die entsprechende x- bzw. y-Koordinate in die Funktionsgleichung und berechne die fehlende Koordinate.
* Achtung! Bei der Berechnung der x-Koordinate musst du eine ÄU (Äquivalenz-Umformung) vornehmen!
S. 115/10 a
* y-Koordinate ist gesucht. Das ist einfacher, als wenn die x-Koordinate gesucht ist.
* Setze die gegebene x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne y.
`y=x+5` Punkt `(x|y) = (1|y)`
`y=1+5`
`y=6`
Der Graph der Funktion `y=x+5` geht also durch den Punkt `(1|6)`. Siehe Bild.
S. 115/10 b
* Achtung! Die Funktion steht im LB mit `y=2-0,5x`.
* Erst umformen in die Form `y=mx+t`: `y=-0,5x+2` (Achtung, das `-` (Minus) gehört zu `0,5`!)
* Es ist also `m=-0,5` und `t=2`!
* Jetzt den Punkt `(x|y) = (x|0)` in die Funktionsgleichung einsetzen und nach `x` äquivalent umstellen:
`y=-0,5 x +2` (Funktionsgleichung)
`0=-0,5 * x + 2 \ \ \ |-2` (gegebenes y einsetzen, beide Seiten `-2`)
`-2 = -0,5 x \ \ \ |:(-0,5)` (beide Seiten durch `-0,5`)
`4 = x` (zugehörige x-Koordinate ist also `4`)
* Die Funktion `y=-0,5x+1` läuft durch den Punkt `(4|0)`
desmos für beide Aufgaben. Klick für groß!
{{:mathebuch:losungen:schlange.png?direct&400|}}
===== 📘 S. 116: Nullstelle `x_0` =====
==== S. 117/1 ====
* Bestimme erst die Eigenschaften mit Begründung (QV, Steilheit, y-Achsenabschnitt).
* Gehe wie beim Beispiel I b) auf Seite 116 vor.
* Solltest du Probleme mit ÄU haben, dann stelle sie ab.
* Prüfe mit desmos.
S. 117/1 a
* Gesucht ist die Nullstelle `x_0`.
* Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten `(x_0|0)`.
* Der gesuchte Punkt hat also die y-Koordinate `0`.
* Für `y` `0` in die Funktionsgleichung `y=5x-4` einsetzen und äquivalent nach `x` umformen:
`0 = 5x - 4 \ \ \ \ |+4`
`4 = 5x \ \ \ \ |:5`
`4/5 = x_0 \ \ \ \ (x_0 = 0,8)`
Klick für groß!\\
{{:mathebuch:losungen:nullstelle117-1.png?direct&400|}}
==== S. 117/2 ====
* Begründe deine Entscheidungen genau.
* Schreibe Sätze!
* ③ nicht.
S. 117/2 ②
* Schau dir im LB auf S. 110 an, was der Begriff "fallend" bedeutet.
* Mehr kann ich dir nicht helfen.
* Denke nach 😁
==== S. 117/4 ====
* Ließ genau! Was ist gesucht?
* Wie kannst du es bestimmen.
* Rechnerisch? Zeichnerisch? Beides?
* Prüfe mit desmos!
Rechnerisch:
* `t` ist gesucht!
* Wenn `x_0 = 2` die **Nullstelle** der Funktion ist, dann kannst du den Punkt `(x|y) = (2|0)` in die Funktionsgleichung `y=-3/2 x +t` einsetzen. Der Punkt liegt auf der Geraden, deshalb darfst du ihn einsetzen.
* Damit ergibt sich: `0=-3/2 * 2 + t`.
* Eine Gleichung. Eine Unbekannte.
* Jetzt kannst du mit ÄU die Gleichung nach `t` umstellen.
* desmos!
Zeichnerisch:
* Zeichne die Funktion ① `y=0,5 x + 3`.
* Die Funktion `y=- 3/2 x` ist parallel zur gesuchten Funktion ② `y= -3/2 x + t`, da beide den gleichen Anstieg haben (Vergleiche LB S. 114).
* Zeichne `y=-3/2x`!
* Verschiebe diese Funktion parallel (mit dem Geodreieck) so, dass sie die x-Achse bei `x_0=2` schneidet.
* Bestimme das `t` als Schnittpunkt der verschobenen Funktion mit der y-Achse.
==== S. 117/3 ====
* Schließe aus den unterschiedlichen Angaben auf die Parameter der Funktion.
* Du brauchst die Punktprobe, ÄU und all dein Wissen über lineare Funktionen.
* Diese Aufgabe ist wichtig für das Verständnis.
* Löse sie komplett.
* Prüfe mit desmos!
S. 117/3 c
* Gegeben: Nullstelle `N(4|0)`; y-Achsenabschnitt `P(0|4)`
* Gesucht: Funktionsgleichung `y=mx+t` (also `m` und `t`)
* `t=4`, weil der y-Achsenabschnitt `4` ist.
* Wir haben also bisher: `y=mx+4`.
* Es fehlt nur noch das `m`.
* `N` in die halbfertige Funktionsgleichung einsetzen und nach `m` umstellen:
`0=m * 4 + 4 \ \ \ \ |-4`
`-4 = m * 4 \ \ \ \ |:4`
`m=-1`
→ Ergebnis: `y=-1 * x + 4` oder besser: `y=-x+4`
==== S. 117/5 ====
* Anspruchsvolle Aufgabe!
* Beachte die Spalte rechts neben der Aufgabe.
* Schau dir die Parameter der Funktionen genau an.
* Entscheide mit deinem Wissen über lineare Funktionen.
* Prüfe mit desmos!
S. 117/5 b ①
* `y_1`: `m_1=1/2`; `t_1=-2`
* `y_2`: `m_2=-1/3`; `t_2=1`
* `y_3`: `m_3=1/2`; `t_3=3`
* → `m_1=m_3`: Gerade `y_1` und `y_3` sind parallel
* → `m_2 != m_1` und `m_2 != m_3`: Gerade `y_2` schneidet `y_1` und `y_3`
* Bild links unten in der rechten Spalte
Klick für größer!\\
{{:mathebuch:losungen:schnittpunkt-117-5b.png?direct&400|}}
===== 📘 S. 118: Differenzenquotient =====
==== S. 119/2 ====
* Wie im Beispiel auf dem AB oder im Buch S. 119 I.
* Gehe langsam und konzentriert vor.
* **VOR!** **ZEI!** **CHEN!**
* Prüfe jeden Schritt genau.
* Prüfe mit Punktprobe UND desmos.
* Finde deinen Fehler, solltest du einen haben.
S. 119/2 d
`(x_1|y_1) = (-7,5|6)`; `(x_2|y_2) = (-2,5|3)`
`m = (y_2 - y_2)/(x_2 - x_1) = (3 - 6)/(-2,5 - (-7,5)) = (-3)/5 = - 3/5`
* Vorläufige Funktionsgleichung: `y= - 3/5 x + t`
* Einen Punkt (A oder B) von vorläufige Funktionsgleichung einsetzen
* A:
`6 = - 3/5 * (-7,5) + t`
`6 = 9/2 + t \ \ \ \ |- 9/2`
`(6 - 9/2 = 12/2 - 9/2 = 3/2)`
`3/2 = t`
→ `y=- 3/5 x + 3/2`
* Punktprobe für A (A in Funktionsgleichung einsetzen):
`6 = - 3/5 * (-7,5) + 3/2`
`6 = - 3/5 * (- 15/2) + 3/2`
`6 = 45/10 + 3/2`
`6 = 45/10 + 15/10 = 60/10 = 6` w. A. → Punkt liegt auf Graphen der Funktion `y=- 3/5 x + 3/2`
* Punkt B genau so machen! 😁
Klick für groß. \\
{{:mathebuch:losungen:119-2d.png?direct&400|}}
==== S. 119/5 ====
* Begründungen sind wichtig. Schreibe Sätze!
* Für diese Aufgabe brauchst du alles Wissen, was du über lineare Funktionen hast.
* Nutze das Lehrbuch und die ABs.
==== S. 119/3 ====
* Versuche so genau, wie möglich zu antworten.
* Formuliere deine Aussagen in ganzen Sätzen.
* Überprüfe doch erst einmal mit der Punktprobe, ob das Ergebnis stimmt.
* Ja? Nein?
* Wo liegt der Fehler?
* Berichtige ihn mit der korrekten Rechnung.
==== S. 119/4 ====
* Anspruchsvolle Aufgabe.
* Dazu brauchst du all dein Wissen.
* Versuche es. Denke gut nach!
* Nutze die Kästen im Lehrbuch und/oder die ABs.
S. 119/4 d
* "Parallel zu `y=-1,5 x +6`" heißt, der Anstieg der gesuchten Funktion ist `m=-1,5`
* Gerade geht durch `(-3|5)` heißt: Punkt einsetzen:
`5 = -1,5 * (-3) + t`
* Cool. Da fehlt ja nur noch `t`
* nach `t` umstellen und Funktionsgleichung aufstellen.
* Prüfen mit desmos.
==== S. 119/6 ====
* Begründe deine Entscheidungen mit ganzen Sätzen: „⑥ gehört zu (E), weil ...“.
* Gehe systematisch vor:
* Kann ① zu (A) gehören? Ja/Nein, weil ...
* Kann ② zu (A) gehören? Ja/Nein, weil ...
* Beachte das Lösungswort auf der rechten Seite.
* Google doch mal nach dem Namen, wenn du Lust hast. 😖
* ① gehört nicht zu (A), weil `15 != -6 * (-2) -3` (Punktprobe) ist. (Hinweis: Wenn **ein** Punkt nicht auf der Geraden liegt, brauchst du die anderen gar nicht prüfen. Bei einer Wertetabelle müssen **alle** Punkte auf dem Graphen liegen, damit Wertetabelle und Graph zusammengehören.)
* ...
* ① gehört zu (D), weil bei **allen** drei Wertepaaren der Wertetabelle wahre Aussagen bei der Punktprobe entstehen (Rechnungen müssen dabei stehen).
* ...
* Einige Aufgaben kannst du nicht mit Punktprobe erfüllen.
* Da musst du dir etwas anderes einfallen lassen 😁
* Formuliere gute Begründungen!
* Versuche Möglichkeiten zu finden, deine Antworten zu prüfen.
* Nicht! Cheaten! Mit! Desmos!
===== 📘 S. 130: Zusammenfassung / "Das kann ich" =====
==== S. 128/2 ====
* Achtung Aufgabenstellung genau lesen und die Eigenschaften einer proportionalen Funktion wiederholen.
* Kasten S. 104 beachten!
* Prüfe, indem du alle Punkte in desmos einzeichnest und dann schaust, ob sie alle auf einer Geraden liegen.
S. 128/2 a
* alle Wertetabellen sind proportionale Funktionen
* deshalt: Quotient (Division) von zugeordneter und Ausgangsgröße gleich → `m`
`m=56/7=8` → `y=8x`
* Alles klar?
=== S. 128/5 ===
* Nicht mit dem Dreisatz lösen, sondern versuchen eine proportionale Funktion zu nutzen.
* Schreibe zu jeder Aufgabe die Funktionsgleichung mit auf.
S. 128/5a
* Zuordnung: Gewicht [kg] ↦ Preis [€]
* 0,1 kg ↦ 0,88 €
* proportionale Funktion, weil 0 kg ↦ 0 €
* `m=(0,88)/(0,1)=8,8` → `y=8,8x`
* 600 g = 0,6 kg → Preis `y=8,8*0,6=5,28`
* 600 Gramm kosten 5,28 €.
==== S. 128/6 ====
* Versuche die Aufgabe mit Hilfe des Anstiegsdreicks zu lösen `m=(Delta y)/(Delta x)`.
{{:mathebuch:losungen:128-6g.png?direct&400|}}
* Punkt suchen → `A(4,5|1,5)`
* von `(0|0)` nach `A`
* `Delta x = 4,5` (von `(0|0)` aus 4,5 in Richtung x-Achse)
* `Delta y = 1,5` (von dort aus 1,5 in Richtung y-Achse)
* `m=(Delta y)/(Delta x) = (1,5)/(4,5) = 1/3 ~~ 0,33`
* → `y=0,33x`
* Das wäre auch einfacher mit dem Punkt `(3|1)` gegangen 😖
==== S. 128/7 ====
* Das muss sicher klappen.
* Entweder mit dem Anstiegsdreieck oder mit Hilfe des Differenzenquotienten.
* Schau dir das Beispiel auf S. 118 genau an.
* Desmos!
S. 128/7a
- `t` bestimmen (Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse) → `t=-1`
- `m` mit Hilfe des Differenzenquotienten und zwei Punkten bestimmen **ODER** Anstiegsdreieck
* Diffenenzenquotient: Punkte `A(2|0)`; `B(0|-1)`
* `m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)=(-1-0)/(0-2)=(-1)/-2=1/2=0,5`
* aus `t=-1` und `m=0,5` folgt: `y=0,5x-1`
==== S. 128/9 ====
* Wertetabelle oder Anstiegsdreieck.
* Wertetabelle auch mit TR versuchen!
* Desmos!
==== S. 129/9 ====
* Gehe systematisch vor.
* Wenn der Punkt auf dem Graphen liegt, so gibt die Punktprobe eine wahre Aussage.
* Desmos!
S. 129/9a
* Punkt `A(8|-2)`; Funktion `y=2/3 x+1`
* Punkt einsetzen
`-2 = 2/3 * 8 + 1`
`-2 = 16/3 + 1` → f. A. → Punkt `A` liegt nicht auf dem Graphen
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==== S. 129/10 ====
* Entsprechende Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen und umstellen.
* Desmos!
S. 129/10 Punkt `A`
* x-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung und nach y Berechnen
* bzw. y-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung und nach x umstellen
Punkt `B`:
`y=5/3 x - 6` (`y=-1` für y einsetzen)
`-1 = 5/3 * x -6 \ \ \ |+6`
`5 = 5/3 * x \ \ \ |: 5/3 (* 3/5)`
`3=x`
→ `(3|-1)` liegt auf dem Graphen
{{:mathebuch:losungen:129-10.png?direct&400|}}