Was ist eine Menge
Der Begriff „Menge“ ist in der Mathematik eindeutig bestimmt. Es wird also „genau“ festgelegt, was der Begriff „Menge“ in der Mathematik bedeutet. Anders, als im umgangssprachlichen Bereich („eine Menge Hausaufgaben“, „eine Menge Ärger“, …) dient diese Genauigkeit dazu, Missverständnisse auszuschließen.
Leider ist die Definition (genaue Beschreibung, was etwas ist) des Begriffs Menge nicht die aussagekräftigste:
Unter einer Menge (im Sinne der Mathematik) verstehen wir jede Zusammenfassung `M` (Name einer Menge) der von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten `m` (Dinge, die zur Menge gehören) unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von `M` genannt werden) zu einem Ganzen.
Einige Begriffe müssen geklärt werden:
- Zusammenfassung `M`: Es werden „Dinge“ bzw. „Objekte“ zu etwas zusammengefasst. Dieser Zusammenfassung gibt man (hier) den Namen `M`. Andere Zusammenfassungen bekommen andere Namen. Die Namen sind aber in der Regel immer lateinische Großbuchstaben.
- bestimmte und wohlunterschiedene Objekte `m`: Die „Objekte“, die zusammengefasst werden müssen also bestimmbar und unterscheidbar sein. Luft (zum Beispiel) eignet sich nicht als „Objekt“ im Sinne der Mathematik „eine Menge Luft“ ist daher eher Umgangssprache.
- Elemente: Die Dinge/Objekte/Sachen, die in der Zusammenfassung enthalten sind, nennt man Elemente.
Beispiele:
- Wir betrachten alle Schüler und Schülerinnen de Klasse 11a. Diese fassen wir zu einer Menge zusammen. Dieser Menge könnten wir den Namen `T` geben. Mathematisch gesehen ist die Menge `T` eine Zusammenfassung aller Menschen, die in die Klasse 11a gehen. Der Fritz ist ein Element der Menge `T`, weil er ein Schüler der Klasse ist. Moni geht in die Klasse 10b und ist damit kein Element der Menge. Auch das Auto auf der Straße oder die „34“ (als Zahl) ist kein Element der Menge.
- Wir betrachten alle natürlichen Zahlen bis (einschließlich) 10. Jetzt fassen wir alle geraden Zahlen zur Menge `G` zusammen und alle ungeraden Zahlen zur Menge `U`. In `G` sind also 2, 4, 6, 8, und 10 „drin“. In `U` 1, 3, 5, 7, 9.
Beispiel 2 als Bild:
