Inhaltsverzeichnis
Wiederholung Daten und Zufall
Begriffe
- Zufallsexperiment/Zufallsversuch: Vorgang, dessen genauer Ausgang bzw. exaktes Ergebnis nicht vorhersagbar ist
- nach genauen Regeln
- alle Ausgänge des Experiments sind vorher bekannt
- mindestens zwei verschiedene Ausgänge
- Beispiel: Wünzwurf, Würfeln mit n-seitigem Würfel, Lotto, …
- Ergebnismenge $Omega$: alle möglichen Ausgänge des Experiments
- $Omega$ heitß „Omega“
- bestimmter Teil von $Omega$ heißt Ereignis
- Ereignisse sind: sicher, möglich, unmöglich
- Beispiel: 6-er Würfel, einmaliges Würfeln
- $Omega = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$ (alle möglichen Ereignisse)
- Ereignis 1: Es wird eine Eins gewürfelt. $A = {1}$ (mögliches Ereignis)
- Ereignis 2: Es wird eine durch zwei teilbare Zahl gewürfelt. $B = {2; 4; 6}$ (mögliches Ereignis)
- Ereignis 3: Es wird eine Sieben gewürfelt. $C = {7}$ (unmögliches Ereignis)
- Ereignis 4: Es wird eine Eins, Zwei, Drei, Vier, Fünf oder Sechs gewürfelt. $D = {1; 2; 3; ...; 6} = Omega$ (sicheres Ereignis)
- sicheres Ereignis: $D = Omega$
- mögliches Ereignis: $A subset Omega$ ($A$ ist echte Teilmenge von $Omega$)
- unmögliches Ereignis: $C cap Omega = emptyset$ ($C$ geschnitten mit $Omega$ ist leere Menge)
Beispiel Glücksrad
- Ein Glücksrad wird einmal gedreht.
- Ergebnismenge: Menge aller möglichen Ausgänge $Omega = {1; 2; 3; ...; 10}$
- Ereignis: „Gedrehte Zahl ist durch 3 teilbar“ $F = {3; 6; 9}$ (möglich)
- Ereignis: „Gedrehte Zahl ist größer, als 20“ $G = {} = emptyset$ (unmöglich)
- Ereignis: „Gedrehte Zahl ist kleiner, als 11“ $H = {1; 2; 3; ...; 10} = Omega$ (sichere)
- Hinweis: Ereignis und Ergebnis werden oft gleich benutzt!
Häufigkeiten
- Experiment wird oft durchgeführt (n-mal)
- absolute Häufigkeit $H$: Anzahl der Versuche, bei der das gewünschte Ereignis auftritt
- relative Häufigkeit $h$: absolute Häufigkeit geteilt durch Anzahl der Versuche
- Formel: $h = H/n$
- Beispiel: 6-er Würfel wird 20 mal geworfen
- gezählt wird, wie oft eine 3 gewürfelt wird
- 3 wird 5-mal gewürfelt ($n = 5$)
- $Omega = {1; 2; 3; ...; 6}$
- $A = {3}$
- $H(A) = 5$ („Die absolute Häufigkeit von Ereignis $A$ ist 5.“)
- $h(A) = (H(A))/n = 5/20 = 0,25$
- absolute Häufigkeiten werden oft in Balkendiagrammen dargestellt
- relative Häufigkeiten werden oft in Kreisdiagrammen dargestellt
Wahrscheinlichkeiten
- Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $A$ eintritt: $P(A)$
- $P(A) = (text(Anzahl der für A günstigen Ereignisse))/(text(Anzahl aller möglichen Ereignisse))$
- Beispiel: Würfel mit einem 6-er Würfel, Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird
- $Omega = {1; 2; 3; ...; 6}$ (alle möglichen Ereignisse)
- $A = {2; 4; 6}$ („günstige“ Ereignisse)
- $P(A) = (text(Anzahl günstige))/(text(Anzahl mögliche)) = 3/6 = 0,5$
- „Die Wahrscheinlichkeit, dass mit einem 6-er Würfel eine gerade Zahl gewürfelt wird, ist 0,5 oder 50%.“