Wiki mit Mathe drin

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====== 7.1.20 Daten aus Diagrammen und Texten entnehmen ======

===== 1. Absolute und relative Werte =====

<note>
In Diagrammen, Abbildungen, Filmen oder Texten sind oft Zahlen (Werte, Größen) enthalten. Diese müssen bestimmten Zusammenhängen zugeordnet werden, um sie richtig zu verstehen.

Grundsätzlich unterscheidet man zwischen **absoluten** Werten (Zahlen, Angaben) und **relativen** Werten (Zahlen, Angaben) bzw. **Anteilen**.
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Die beiden Begriffe **absolut** und **relativ** kann man relativ schlecht erklären.

Das Adjektiv **"relativ"** bezeichnet oft Werte oder Angaben, die **zu einem anderen Wert in Bezug** stehen.

Wenn Hans zum Beispiel mit Fieber und Schnupfen im Bett liegt, kann es ihm **relativ schlecht** gehen, wenn man es mit einem gesunden Jungen vergleicht. Es kann ihm aber auch **relativ gut** gehen, wenn man seinen Zustand mit dem Zustand von gestern vergleicht, an dem das Fieber viel höher war und es ihm noch schlechter ging.

In der Mathematik sind meist Zahlen im Spiel:

Ließt man: "Im Januar des Jahres wurden rund `1/3` der Einnahmen erzielt.", dann ist 1/3 eine **relative Angabe**, ein **Anteil**. Weiß man die Gesamteinnahmen nicht, dann lassen sich die **absoluten** Einnahmen nicht bestimmen. Weiß man jedoch die Gesamteinnahmen (120.000 EUR), so lässt sich **aus der relativen Angabe eine absolute Angabe berechnen**. 40.000 EUR.
===== 2. Beispiele für absolute und relative Angaben =====

^ Darstellung    ^ Bedeutung       ^
| Ein Text: \\ \\ "Das Bundesland Nordrhein-Westphalen hat ca. **17,6 Mio.** Einwohner. Das sind ungefähr ein Fünftel der Bevölkerung Deutschlands" | Zwei Werte: **17,6 Mio.** Einwohner und **ein Fünftel**. \\ \\ Die 17,6 Mio. geben die Gesamteinwohnerzahl an. Diesen Wert nennt man **absolut**, weil er von keinem weiteren Wert abhängt. **Ein Fünftel** ist ein **relativer** Wert, weil er von einer anderen Größe abhängt (von der Gesamteinwohnerzahl). Die ein Fünftel sind der **Anteil** der Menschen aus Deutschland, die in Nordrhein-Westphalen leben. |
| Ein Kreis-Diagramm: \\ \\ {{:mathebuch:v7:diagramm_karl_anger.png?nolink|}} | Es gibt nur eine Zahlenangabe in diesem Diagramm. Trotzdem kann man einige **relative** und auch **absolute** Angaben heraus nehmen. \\ \\ Die Filiale in München ist mit der Hälfte am Gesamtumsatz beteiligt. Nürnberg mit einem Viertel. Bamberg und Augsburg mit je einem Achtel. (Das sind die **relativen** Werte, die ermittelt werden können. \\ \\ Mit etwas Mathematik kann man auch die **absoluten** Werte bestimmen: \\ München: 2,4 Mio. Euro, Nürnberg: 1,2 Mio. Euro, Bamberg und Augsburg: je 0,6 Mio. Euro. \\ \\ **Addiert man die relativen Werte aller Teile zusammen, erhält man immer 1 bzw. 100%.** \\ \\ **Addiert man die absoluten Werte aller Teile zusammen, erhält man immer den Gesamtwert.** \\ \\ :check: 1a) Überprüfe die letzten beiden Aussagen schriftlich.|
| Ein Balken-Diagramm: \\ \\ {{:mathebuch:v7:diagramm_kino.png?nolink|}} | Die **Gesamtzuschauerzahlen** erhält man, wenn man die einzelnen Zuschauerzahlen der Monate addiert: \\ \\ `45.000 + 30.000 + 10.000 + 30.000 + 25.000 + 20.000 = 160.000` \\ \\ Die **relativen Anteile** erhält man, indem man die einzelnen **absoluten** Werte durch die Gesamt zuschauerzahlen teilt: \\ \\ `\text{Januar:} 45.000/160.000 = 9/32 \approx 0,3 = 30%` \\ \\ `\text{Februar:} 30.000/160.000 = 3/16 \approx 0,2 = 20%` \\ \\ Und so weiter. \\ \\ Auch hier gilt: **Die Summe der relativen Werte (Anteile) muss 1 ergeben.** \\ \\ :check: 1b) Überprüfe das schriftlich mit den ermittelten Bruchzahlen und den ermittelten Dezimalzahlen (Kommazahlen)! Berechne dazu erst die fehlenden Anteile (relativen Werte). \\ \\ :check: 1c) Warum kommt bei der Summe der Dezimalzahlen nicht immer genau 1 heraus? \\ \\ :check: 1d) Versuche zu erklären, warum im Januar die Zuschauerzahlen so hoch sind? Was könnte der Grund sein, dass im März die Zuschauerzahlen so zurückgegangen sind?|

===== Zusammenfassung und Formeln =====

<note>
Zum Beschreiben von Diagrammen kannst du [[http://goo.gl/18G9E2|diese Hilfe]] (ZUM-Wiki) verwenden.

Um den (relativen) Anteil eines Teils am Ganzen zu berechnen:

$$\text{Anteil eines Wertes} = \frac{\text{Wert eines Teiles des Ganzen}}{\text{Das Ganze}}$$

$$\text{Anteil eines Wertes} \cdot 100 = \text{Prozentsatz des Anteils} [\%]$$

Das Ganze als Summe aus den (absoluten) Werten der Einzelteile berechnen:

$$\text{Das Ganze} = \text{Wert Teil 1} + \text{Wert Teil 2} + \text{Wert Teil 3} + \ldots$$

**Runde die relativen Anteile sinnvoll auf eine bzw. zwei Dezimalstellen.**

Überprüfe alle deine Ergebnisse/Aussagen auf Plausibilität (Sind die Ergebnisse/Aussagen sinnvoll?)
</note>
===== Aufgaben =====

<note important>

**Die Aufgaben zu diesem Thema befinden sich auf einer [[:mathebuch:v7:7.1.20-ü1|neuen Seite]]!**

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