Wiki mit Mathe drin

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====== Hinweise zu den Aufgaben Lehrbuch Klasse 8 Funktionen ======

**Lösungen in Talk!**

<note tip>

Rechts hast du ein **Inhaltsverzeichnis**. Suche dir den entsprechenden Eintrag aus!

**Viel Erfolg!**

**Lösungen** für die einzelnen Aufgaben von mir per Mail mit Angabe von Seite und Nummer.

Sollte dir ein **AB fehlen**, so kannst du es von mir per Mail bekommen. Dateiname nicht vergessen. Der steht auf dem AB oben rechts.

**Denke dran: Eine ordentliche äußere Form ist wichtig!**

Wenn ihr **Fehler** auf dieser Webseite oder auf dem AB findet, dann sagt bitte Bescheid oder schreibt mir eine Mail mit einem Screenshot und dem **genauen** Fehler. Danke.

</note>

<note>
Weitere Übungen: [[https://mathe.aufgabenfuchs.de/funktion/funktion.shtml#Fu-Linear|aufgabenfuchs.de]]

  * **AB gut durcharbeiten**, evtl. abschreiben, Stichpunkte formulieren!
  * Jede Aufgabe mit **Rechnung, Skizze, Rechenweg**!
  * **NICHT RATEN!**
  * **GENAU ÜBERLEGEN!**

</note>

===== 💄 Links zum Thema =====

  * [[https://www.youtube.com/playlist?list=PLETJpjbok_dcsflqOBw1zkKwpeUYvxNWr|Gute Playlist mit Videos zum Theme Lineare Funktionen]]
  * [[https://www.youtube.com/playlist?list=PLBCrp2VsCcpODvnieNr-iNga-cZBDExL0|Noch eine gute Playlist (Thema LiFu weiter unten in der Liste)]]
  * [[https://mathe.aufgabenfuchs.de/funktion/funktion.shtml|aufgabenfuchs.de -- Lineare Funktionen]]
  * unterricht.de
    * [[https://www.unterricht.de/Aufgaben/Lineare-Gleichungen-Einfuehrung/Mittelstufe|LINEARE GLEICHUNGEN - EINFÜHRUNG]]
    * [[https://www.unterricht.de/Aufgaben/Lineare-Gleichungen-Fortgeschritten/Mittelstufe|LINEARE GLEICHUNGEN - FORTGESCHRITTEN]]
    * [[https://www.unterricht.de/Aufgaben/Einfuehrung-Funktionen/Mittelstufe|EINFÜHRUNG FUNKTIONEN ]]
    * [[https://www.unterricht.de/Aufgaben/Lineare-Funktionen/Mittelstufe|LINEARE FUNKTIONEN]]

===== 📘 S. 112: Lineare Funktionen der Form `y=mx+t` =====

==== S. 113/1 ====

  * Zeichne nichts ins Lehrbuch.
  * Hinweise zu zum „Auszählen“ gibt es in der rechten Spalte.
  * Achte auf das Vorzeichen von `m`.
  * Schau dir dein `m` an und vergleiche mit den Eigenschaften.
  * Kann dein `m` richtig sein?
  * Überprüfe dein Ergebnis mit desmos.

<hidden Hier klicken, wenn du nicht weiter kommst 🕶>

S. 113/1 ①

  * `t=3`, weil Gerade y-Achse bei `3` schneidet.
  * Vom Punkt `(0|3)` `-1` "nach unten" → `Delta y = -1`
  * **von dort aus** `-2` "nach links" → `Delta x = -2`
  * `m = (Delta y)/(Delta x) = (-1)/(-2) = 1/2`
  * Also: `m = 1/2`, `t = 3` → `y=1/2 x + 3`
  * Eigenschaften:
    * Gerade müsste von I nach III laufen, weil `1/2 > 0` ist: tut sie
    * Gerade müsste flach sein, weil `|m| < 1` ist: ist sie
    * Gerade müsste y-Achse bei 3 schneiden, weil `t=3`: tut sie
    * desmos:

Klicke auf den Graphen für ein großes Bild!

{{:mathebuch:losungen:113-1.png?direct&200|}}
</hidden>

==== S. 113/2 ====

  * Höchstens drei oder vier Funktionen in ein KS (1 cm ≙  1 LE).
  * Schreibe vor jedem Zeichnen: Parameter `m` und `t`, Eigenschaften mit Begründung, y-Achsenabschnitt.
  * Prüfe mit desmos.

<hidden Hier klicken für Hilfe. Wirklich? 👨‍🌾>

S. 113/2 ①

  * Erstelle eine Wertetabelle mit ca. 5 Werten:

(Bilder anklicken für groß)\\
{{:mathebuch:losungen:tabelle113.png?direct&400|}}

  * Punkte in KS einzeichnen

{{:mathebuch:losungen:punkte.png?direct&400|}}

  * Punkte mit Gerade verbinden

{{:mathebuch:losungen:verbunden.png?direct&400|}}

  * steil: steiler, als `y=x` (`45°`)
  * Schreibe dir die Antwort(en) auf Aufgabe b) **genau** auf. Begründe auch anhand vom Parameter `m`

</hidden>

==== S. 113/3 ====

  * Zu jeder Teilaufgabe ① bis ⑤ eine gute Begründung :)
  * Sind die Geraden Geraden oder nicht?
  * Schneiden die Geraden die y-Achse bei `(0|0)` oder bei `(0|t)`?
  * ④: ist das eine lineare, eine Proportionale oder eine andere Funktion (Skizze/Diagramm/desmos)?
  * Formuliere für jedes Beispiel (① bis ⑤) einen aussagekräftigen Sachverhalt.
  * Bei dieser Aufgabe muss man viel denken 😁

==== S. 115/7 ====

  * Jeweils höchstens 4 Aufgaben in ein KS.
  * Überlege, ob dein `m` und dein `t` zur gezeichneten Geraden passen.
  * Prüfe mit desmos.

<hidden Wenn du nicht weiterkommst, klicke hier! 🧀>

S. 115/7 b

  * Beide Punkte in ein KS einzeichnen.
  * Gerade durch beide Punkte.
  * `t` ablesen (Schnittpunkt der Geraden mit y-Achse) → `t=6`
  * `m` mit Anstiegsdreieck bestimmen:
    * vom Punkt `(0|6)` zum Punkt `(2|4)`
    * `Delta y = -2` (weil entgegen der y-Achse)
    * `Delta x = 2` (weil in Richtung y-Achse)
  * `m = (Delta y)/(Delta x) = 2/(-2) = -1`
  * → `y=-1 ⋅ x+6` oder besser,\\ weil `-1 ⋅ x = -x`:\\ `y=-x+6`

Bild anklicken für groß)\\
{{:mathebuch:losungen:anstiegsdreieck.png?direct&400|}}

  * Eigenschaften:
    * II nach IV, weil `m<0`
    * weder steil noch flach ("normal"), weil `|m|=1`
    * y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt der Geraden mit y-Achse bei `y=6`, weil `t=6`

</hidden>

==== S. 115/9 ====

  * siehe S. 113/1
  * desmos!

<hidden Aber wirklich nur klicken, wenn du nicht weiter weisst 😁 >

S. 115/9 a

  * `t=-15`, weil die Gerade die y-Achse bei `-15` schneidet
  * mehrere Möglichkeiten das Anstiegsdreieck zu erstellen (hier nur zwei):
    * rot (vom Punkt `(15|15)` zum Punkt `(5|-5)`):
      * `Delta x = -10`
      * `Delta y = -20`
      * `m=(Delta y)/(Delta x)=(-20)/(-10)=2`
    * blau (vom Punkt `(0|-15)` zum Punkt `(5|-5)`):
      * `Delta x = 5`
      * `Delta y = 10`
      * `m=(Delta y)/(Delta x)=(10)/(5)=2`
  * → `y=2x-15`
  * Prüfen mit desmos!

(Bild anklicken für groß)\\
{{:mathebuch:losungen:anstiegsdreieck2.png?direct&400|}}

</hidden>

===== 📘 S. 114: Geradenschar und Geradenbüschel =====

==== S. 114/4 ====

  * Arbeite die Aufgaben genau durch.
  * Die Begriffe sind wichtig.
  * Prüfe mit desmos.
  * Was fällt dir bei den Funktionsgleichungen (D) bis (G) an den Funktionsgleichungen auf?

<hidden Aber nur klicken, wenn du wirklich nicht weiterkommst. Erst denken! 🧠>

S. 114/4 b

  * Schau dir die Parameter (`m`, `t`) jeder Funktion genau an und entscheide anhand der Eigenschaften, zu welcher Geraden die Funktion passt.
  * Beispiel:
    * ① `y=2x+1` passt nicht zu (A), weil bei ① `t=1` ist und (A) die y-Achse bei `y=2` schneidet.
    * ① passt auch nicht zu (B), weil (B) eine proportionale Funktion ist und damit `t=0` sein müsste.
    * ① passt auch nicht zu (C), weil bei (C) `t=-1` ist
    * vielleicht (D)? Ok. `t` stimmt schonmal, weil (D) die y-Achse bei `1` schneidet und bei ① `t=1` ist. Außerdem hat (D) den Anstieg `m=2` (von `(0|1)` eins nach rechts (`Delta x = 1`) und zwei nach oben (`Delta y = 1`). `m=(Delta y)/(Delta x)=2/1=2`
    * YES! ① ist (D)

</hidden>

==== S. 115/8 ====

  * Achtung! „Rechnerisch!“
  * Mache die Punktprobe und entscheide.
  * Prüfe mit desmos!

<hidden Klick für Hilfe, wenn du nicht weiter kommst. 🆘>

S. 115/8 ①

  * Beispiel 1: Punkt `A` in ① einsetzen und schauen, ob es eine wahre Aussage ist:

`-3 = 1/3 ⋅ 1 -4`

`-3 = 1/3 - 4`

`-3 = 1/3 - 12/3 = -11/3` (`-3 != -11/3`) f. A. → Punkt `A` **liegt nicht** auf dem Graphen von ①

(f. A. heißt "falsche Aussage")

  * Beispiel 2: Punkt `E` in ① einsetzen:

`-3 = 1/3 * 3 - 4`

`-3 = 1 - 4`

`-3 = -3` w. A. → Punkt `E` **liegt** auf dem Graphen von ①

(w. A. heißt "wahre Aussage")

{{:mathebuch:losungen:punktprobe.png?direct&400|}}

</hidden>

==== S. 115/10 ====

  * Setze die entsprechende x- bzw. y-Koordinate in die Funktionsgleichung und berechne die fehlende Koordinate.
  * Achtung! Bei der Berechnung der x-Koordinate musst du eine ÄU (Äquivalenz-Umformung) vornehmen!

<hidden Klicke für den Notfall 🚑>

S. 115/10 a

  * y-Koordinate ist gesucht. Das ist einfacher, als wenn die x-Koordinate gesucht ist.
  * Setze die gegebene x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne y.

`y=x+5` Punkt `(x|y) = (1|y)`

`y=1+5`

`y=6`

Der Graph der Funktion `y=x+5` geht also durch den Punkt `(1|6)`. Siehe Bild.

S. 115/10 b

  * Achtung! Die Funktion steht im LB mit `y=2-0,5x`.
  * Erst umformen in die Form `y=mx+t`: `y=-0,5x+2` (Achtung, das `-` (Minus) gehört zu `0,5`!)
  * Es ist also `m=-0,5` und `t=2`!
  * Jetzt den Punkt `(x|y) = (x|0)` in die Funktionsgleichung einsetzen und nach `x` äquivalent umstellen:

`y=-0,5 x +2` (Funktionsgleichung)

`0=-0,5 * x + 2 \ \ \ |-2` (gegebenes y einsetzen, beide Seiten `-2`)

`-2 = -0,5 x \ \ \ |:(-0,5)` (beide Seiten durch `-0,5`)

`4 = x` (zugehörige x-Koordinate ist also `4`)

  * Die Funktion `y=-0,5x+1` läuft durch den Punkt `(4|0)`

desmos für beide Aufgaben. Klick für groß!

{{:mathebuch:losungen:schlange.png?direct&400|}}

</hidden>

===== 📘 S. 116: Nullstelle `x_0` =====

==== S. 117/1 ====

  * Bestimme erst die Eigenschaften mit Begründung (QV, Steilheit, y-Achsenabschnitt).
  * Gehe wie beim Beispiel I b) auf Seite 116 vor.
  * Solltest du Probleme mit ÄU haben, dann stelle sie ab.
  * Prüfe mit desmos.

<hidden Klicken, wenn du nicht weiterkommst ... 😬>

S. 117/1 a

  * Gesucht ist die Nullstelle `x_0`.
  * Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten `(x_0|0)`.
  * Der gesuchte Punkt hat also die y-Koordinate `0`.
  * Für `y` `0` in die Funktionsgleichung `y=5x-4` einsetzen und äquivalent nach `x` umformen:

`0 = 5x - 4 \ \ \ \ |+4`

`4 = 5x \ \ \ \ |:5`

`4/5 = x_0 \ \ \ \ (x_0 = 0,8)`

Klick für groß!\\
{{:mathebuch:losungen:nullstelle117-1.png?direct&400|}}

</hidden>

==== S. 117/2 ====

  * Begründe deine Entscheidungen genau.
  * Schreibe Sätze!
  * ③ nicht.

<hidden Was du kommst nicht weiter? Ok. Klick! 🐍>

S. 117/2 ②

  * Schau dir im LB auf S. 110 an, was der Begriff "fallend" bedeutet.
  * Mehr kann ich dir nicht helfen.
  * Denke nach 😁

</hidden>

==== S. 117/4 ====

  * Ließ genau! Was ist gesucht?
  * Wie kannst du es bestimmen.
  * Rechnerisch? Zeichnerisch? Beides?
  * Prüfe mit desmos!

<hidden Uhh! Zu schwer? Klick! 🙄>

Rechnerisch:

  * `t` ist gesucht!
  * Wenn `x_0 = 2` die **Nullstelle** der Funktion ist, dann kannst du den Punkt `(x|y) = (2|0)` in die Funktionsgleichung `y=-3/2 x +t` einsetzen. Der Punkt liegt auf der Geraden, deshalb darfst du ihn einsetzen.
  * Damit ergibt sich: `0=-3/2 * 2 + t`.
  * Eine Gleichung. Eine Unbekannte.
  * Jetzt kannst du mit ÄU die Gleichung nach `t` umstellen.
  * desmos!

Zeichnerisch:

  * Zeichne die Funktion ① `y=0,5 x + 3`.
  * Die Funktion `y=- 3/2 x` ist parallel zur gesuchten Funktion ② `y= -3/2 x + t`, da beide den gleichen Anstieg haben (Vergleiche LB S. 114).
  * Zeichne `y=-3/2x`!
  * Verschiebe diese Funktion parallel (mit dem Geodreieck) so, dass sie die x-Achse bei `x_0=2` schneidet.
  * Bestimme das `t` als Schnittpunkt der verschobenen Funktion mit der y-Achse.

</hidden>

==== S. 117/3 ====

  * Schließe aus den unterschiedlichen Angaben auf die Parameter der Funktion.
  * Du brauchst die Punktprobe, ÄU und all dein Wissen über lineare Funktionen.
  * Diese Aufgabe ist wichtig für das Verständnis.
  * Löse sie komplett.
  * Prüfe mit desmos!

<hidden Erst selbst versuchen, dann hier klicken 😜>

S. 117/3 c

  * Gegeben: Nullstelle `N(4|0)`; y-Achsenabschnitt `P(0|4)`
  * Gesucht: Funktionsgleichung `y=mx+t` (also `m` und `t`)
  * `t=4`, weil der y-Achsenabschnitt `4` ist.
  * Wir haben also bisher: `y=mx+4`.
  * Es fehlt nur noch das `m`.
  * `N` in die halbfertige Funktionsgleichung einsetzen und nach `m` umstellen:

`0=m * 4 + 4 \ \ \ \ |-4`

`-4 = m * 4 \ \ \ \ |:4`

`m=-1`

→ Ergebnis: `y=-1 * x + 4` oder besser: `y=-x+4`

</hidden>

==== S. 117/5 ====

  * Anspruchsvolle Aufgabe!
  * Beachte die Spalte rechts neben der Aufgabe.
  * Schau dir die Parameter der Funktionen genau an.
  * Entscheide mit deinem Wissen über lineare Funktionen.
  * Prüfe mit desmos!

<hidden Erst überlegen, dann schummeln 😫>

S. 117/5 b ①

  * `y_1`: `m_1=1/2`; `t_1=-2`
  * `y_2`: `m_2=-1/3`; `t_2=1`
  * `y_3`: `m_3=1/2`; `t_3=3`
  * → `m_1=m_3`: Gerade `y_1` und `y_3` sind parallel
  * → `m_2 != m_1` und `m_2 != m_3`: Gerade `y_2` schneidet `y_1` und `y_3`
  * Bild links unten in der rechten Spalte

Klick für größer!\\
{{:mathebuch:losungen:schnittpunkt-117-5b.png?direct&400|}}

</hidden>

===== 📘 S. 118: Differenzenquotient =====

==== S. 119/2 ====

  * Wie im Beispiel auf dem AB oder im Buch S. 119 I.
  * Gehe langsam und konzentriert vor.
  * **VOR!** **ZEI!** **CHEN!**
  * Prüfe jeden Schritt genau.
  * Prüfe mit Punktprobe UND desmos.
  * Finde deinen Fehler, solltest du einen haben.

<hidden Ok. Ein Beispiel. Aber erst selbst probieren 🔐>

S. 119/2 d

`(x_1|y_1) = (-7,5|6)`; `(x_2|y_2) = (-2,5|3)`

`m = (y_2 - y_2)/(x_2 - x_1) = (3 - 6)/(-2,5 - (-7,5)) = (-3)/5 = - 3/5`

  * Vorläufige Funktionsgleichung: `y= - 3/5 x + t`
  * Einen Punkt (A oder B) von vorläufige Funktionsgleichung einsetzen
  * A:

`6 = - 3/5 * (-7,5) + t`

`6 = 9/2 + t  \ \ \ \ |- 9/2`

`(6 - 9/2 = 12/2 - 9/2 = 3/2)`

`3/2 = t`

→ `y=- 3/5 x + 3/2`

  * Punktprobe für A (A in Funktionsgleichung einsetzen):

`6 = - 3/5 * (-7,5) + 3/2`

`6 = - 3/5 * (- 15/2) + 3/2`

`6 = 45/10 + 3/2`

`6 = 45/10 + 15/10 = 60/10 = 6` w. A. → Punkt liegt auf Graphen der Funktion `y=- 3/5 x + 3/2`

  * Punkt B genau so machen! 😁

Klick für groß. \\
{{:mathebuch:losungen:119-2d.png?direct&400|}}

</hidden>

==== S. 119/5 ====

  * Begründungen sind wichtig. Schreibe Sätze!
  * Für diese Aufgabe brauchst du alles Wissen, was du über lineare Funktionen hast.
  * Nutze das Lehrbuch und die ABs.

==== S. 119/3 ====

  * Versuche so genau, wie möglich zu antworten.
  * Formuliere deine Aussagen in ganzen Sätzen.

<hidden Eigentlich gibt es da nichts zum Schummeln. Trotzdem klicken? 😫>

  * Überprüfe doch erst einmal mit der Punktprobe, ob das Ergebnis stimmt.
  * Ja? Nein?
  * Wo liegt der Fehler?
  * Berichtige ihn mit der korrekten Rechnung.

</hidden>

==== S. 119/4 ====

  * Anspruchsvolle Aufgabe.
  * Dazu brauchst du all dein Wissen.
  * Versuche es. Denke gut nach!
  * Nutze die Kästen im Lehrbuch und/oder die ABs.

<hidden Hilfe? Jetzt schon? 👨‍🚀>

S. 119/4 d

  * "Parallel zu `y=-1,5 x +6`" heißt, der Anstieg der gesuchten Funktion ist `m=-1,5`
  * Gerade geht durch `(-3|5)` heißt: Punkt einsetzen:

`5 = -1,5 * (-3) + t`

  * Cool. Da fehlt ja nur noch `t`
  * nach `t` umstellen und Funktionsgleichung aufstellen.
  * Prüfen mit desmos.

</hidden>

==== S. 119/6 ====

  * Begründe deine Entscheidungen mit ganzen Sätzen: „⑥ gehört zu (E), weil ...“.
  * Gehe systematisch vor:
    * Kann ① zu (A) gehören? Ja/Nein, weil ...
    * Kann ② zu (A) gehören? Ja/Nein, weil ...
  * Beachte das Lösungswort auf der rechten Seite.
  * Google doch mal nach dem Namen, wenn du Lust hast. 😖

<hidden Ok, ein Beispiel. Aber erst selbst versuchen ... 🤡>

  * ① gehört nicht zu (A), weil `15 != -6 * (-2) -3` (Punktprobe) ist. (Hinweis: Wenn **ein** Punkt nicht auf der Geraden liegt, brauchst du die anderen gar nicht prüfen. Bei einer Wertetabelle müssen **alle** Punkte auf dem Graphen liegen, damit Wertetabelle und Graph zusammengehören.)
  * ...
  * ① gehört zu (D), weil bei **allen** drei Wertepaaren der Wertetabelle wahre Aussagen bei der Punktprobe entstehen (Rechnungen müssen dabei stehen).
  * ...
  * Einige Aufgaben kannst du nicht mit Punktprobe erfüllen.
  * Da musst du dir etwas anderes einfallen lassen 😁
  * Formuliere gute Begründungen!
  * Versuche Möglichkeiten zu finden, deine Antworten zu prüfen.
  * Nicht! Cheaten! Mit! Desmos!

</hidden>

===== 📘 S. 130: Zusammenfassung / "Das kann ich" =====

==== S. 128/2 ====

  * Achtung Aufgabenstellung genau lesen und die Eigenschaften einer proportionalen Funktion wiederholen.
  * Kasten S. 104 beachten!
  * Prüfe, indem du alle Punkte in desmos einzeichnest und dann schaust, ob sie alle auf einer Geraden liegen.

<hidden Ok, ein Beispiel. Aber erst selbst versuchen ... 👩‍🚀>

S. 128/2 a

  * alle Wertetabellen sind proportionale Funktionen
  * deshalt: Quotient (Division) von zugeordneter und Ausgangsgröße gleich → `m`

`m=56/7=8` → `y=8x`

  * Alles klar?

</hidden>

=== S. 128/5 ===

  * Nicht mit dem Dreisatz lösen, sondern versuchen eine proportionale Funktion zu nutzen.
  * Schreibe zu jeder Aufgabe die Funktionsgleichung mit auf.

<hidden Langsam! Nicht so schnell aufgeben ... 🐄>

S. 128/5a

  * Zuordnung: Gewicht [kg] ↦ Preis [€]
  * 0,1 kg ↦ 0,88 €
  * proportionale Funktion, weil 0 kg ↦ 0 €
  * `m=(0,88)/(0,1)=8,8` → `y=8,8x`
  * 600 g = 0,6 kg → Preis `y=8,8*0,6=5,28`
  * 600 Gramm kosten 5,28 €.

</hidden>

==== S. 128/6 ====

  * Versuche die Aufgabe mit Hilfe des Anstiegsdreicks zu lösen `m=(Delta y)/(Delta x)`.

<hidden Hier klicken, wenn du nicht weiter kommst 🙄>

{{:mathebuch:losungen:128-6g.png?direct&400|}}

  * Punkt suchen → `A(4,5|1,5)`
  * von `(0|0)` nach `A`
  * `Delta x = 4,5` (von `(0|0)` aus 4,5 in Richtung x-Achse)
  * `Delta y = 1,5` (von dort aus 1,5 in Richtung y-Achse)
  * `m=(Delta y)/(Delta x) = (1,5)/(4,5) = 1/3 ~~ 0,33`
  * → `y=0,33x`
  * Das wäre auch einfacher mit dem Punkt `(3|1)` gegangen 😖

</hidden>

==== S. 128/7 ====


  * Das muss sicher klappen.
  * Entweder mit dem Anstiegsdreieck oder mit Hilfe des Differenzenquotienten.
  * Schau dir das Beispiel auf S. 118 genau an.
  * Desmos!

<hidden Hier klicken, wenn du nicht weiter kommst 🎪>

S. 128/7a

  - `t` bestimmen (Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse) → `t=-1`
  - `m` mit Hilfe des Differenzenquotienten und zwei Punkten bestimmen **ODER** Anstiegsdreieck

  * Diffenenzenquotient: Punkte `A(2|0)`; `B(0|-1)`
  * `m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)=(-1-0)/(0-2)=(-1)/-2=1/2=0,5`
  * aus `t=-1` und `m=0,5` folgt: `y=0,5x-1`

</hidden>

==== S. 128/9 ====

  * Wertetabelle oder Anstiegsdreieck.
  * Wertetabelle auch mit TR versuchen!
  * Desmos!

==== S. 129/9 ====

  * Gehe systematisch vor.
  * Wenn der Punkt auf dem Graphen liegt, so gibt die Punktprobe eine wahre Aussage.
  * Desmos!

<hidden Erst selbst versuchen ‼>

S. 129/9a

  * Punkt `A(8|-2)`; Funktion `y=2/3 x+1`
  * Punkt einsetzen

`-2 = 2/3 * 8 + 1`
`-2 = 16/3 + 1` → f. A. → Punkt `A` liegt nicht auf dem Graphen

{{:mathebuch:losungen:128-9.png?direct&400|}}

</hidden>

==== S. 129/10 ====

  * Entsprechende Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen und umstellen.
  * Desmos!

<hidden Nicht cheaten 🚧>

S. 129/10 Punkt `A`

  * x-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung und nach y Berechnen
  * bzw. y-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung und nach x umstellen

Punkt `B`:

`y=5/3 x - 6` (`y=-1` für y einsetzen)

`-1 = 5/3 * x -6  \ \ \ |+6`

`5 = 5/3 * x  \ \ \ |: 5/3 (* 3/5)`

`3=x`

→ `(3|-1)` liegt auf dem Graphen

{{:mathebuch:losungen:129-10.png?direct&400|}}

</hidden>