Hinweise zu den Aufgaben Lehrbuch Klasse 8 Funktionen

Lösungen in Talk!

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Viel Erfolg!

Lösungen für die einzelnen Aufgaben von mir per Mail mit Angabe von Seite und Nummer.

Sollte dir ein AB fehlen, so kannst du es von mir per Mail bekommen. Dateiname nicht vergessen. Der steht auf dem AB oben rechts.

Denke dran: Eine ordentliche äußere Form ist wichtig!

Wenn ihr Fehler auf dieser Webseite oder auf dem AB findet, dann sagt bitte Bescheid oder schreibt mir eine Mail mit einem Screenshot und dem genauen Fehler. Danke.

Weitere Übungen: aufgabenfuchs.de
  • AB gut durcharbeiten, evtl. abschreiben, Stichpunkte formulieren!
  • Jede Aufgabe mit Rechnung, Skizze, Rechenweg!
  • NICHT RATEN!
  • GENAU ÜBERLEGEN!

📘 S. 112: Lineare Funktionen der Form `y=mx+t`

S. 113/1

  • Zeichne nichts ins Lehrbuch.
  • Hinweise zu zum „Auszählen“ gibt es in der rechten Spalte.
  • Achte auf das Vorzeichen von `m`.
  • Schau dir dein `m` an und vergleiche mit den Eigenschaften.
  • Kann dein `m` richtig sein?
  • Überprüfe dein Ergebnis mit desmos.

Hier klicken, wenn du nicht weiter kommst 🕶

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S. 113/1 ①

  • `t=3`, weil Gerade y-Achse bei `3` schneidet.
  • Vom Punkt `(0|3)` `-1` „nach unten“ → `Delta y = -1`
  • von dort aus `-2` „nach links“ → `Delta x = -2`
  • `m = (Delta y)/(Delta x) = (-1)/(-2) = 1/2`
  • Also: `m = 1/2`, `t = 3` → `y=1/2 x + 3`
  • Eigenschaften:
    • Gerade müsste von I nach III laufen, weil `1/2 > 0` ist: tut sie
    • Gerade müsste flach sein, weil `|m| < 1` ist: ist sie
    • Gerade müsste y-Achse bei 3 schneiden, weil `t=3`: tut sie
    • desmos:

Klicke auf den Graphen für ein großes Bild!

S. 113/2

  • Höchstens drei oder vier Funktionen in ein KS (1 cm ≙ 1 LE).
  • Schreibe vor jedem Zeichnen: Parameter `m` und `t`, Eigenschaften mit Begründung, y-Achsenabschnitt.
  • Prüfe mit desmos.

Hier klicken für Hilfe. Wirklich? 👨‍🌾

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S. 113/2 ①

  • Erstelle eine Wertetabelle mit ca. 5 Werten:

(Bilder anklicken für groß)

  • Punkte in KS einzeichnen

  • Punkte mit Gerade verbinden

  • steil: steiler, als `y=x` (`45°`)
  • Schreibe dir die Antwort(en) auf Aufgabe b) genau auf. Begründe auch anhand vom Parameter `m`

S. 113/3

  • Zu jeder Teilaufgabe ① bis ⑤ eine gute Begründung :)
  • Sind die Geraden Geraden oder nicht?
  • Schneiden die Geraden die y-Achse bei `(0|0)` oder bei `(0|t)`?
  • ④: ist das eine lineare, eine Proportionale oder eine andere Funktion (Skizze/Diagramm/desmos)?
  • Formuliere für jedes Beispiel (① bis ⑤) einen aussagekräftigen Sachverhalt.
  • Bei dieser Aufgabe muss man viel denken 😁

S. 115/7

  • Jeweils höchstens 4 Aufgaben in ein KS.
  • Überlege, ob dein `m` und dein `t` zur gezeichneten Geraden passen.
  • Prüfe mit desmos.

Wenn du nicht weiterkommst, klicke hier! 🧀

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S. 115/7 b

  • Beide Punkte in ein KS einzeichnen.
  • Gerade durch beide Punkte.
  • `t` ablesen (Schnittpunkt der Geraden mit y-Achse) → `t=6`
  • `m` mit Anstiegsdreieck bestimmen:
    • vom Punkt `(0|6)` zum Punkt `(2|4)`
    • `Delta y = -2` (weil entgegen der y-Achse)
    • `Delta x = 2` (weil in Richtung y-Achse)
  • `m = (Delta y)/(Delta x) = 2/(-2) = -1`
  • → `y=-1 ⋅ x+6` oder besser,
    weil `-1 ⋅ x = -x`:
    `y=-x+6`

Bild anklicken für groß)

  • Eigenschaften:
    • II nach IV, weil `m<0`
    • weder steil noch flach („normal“), weil `|m|=1`
    • y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt der Geraden mit y-Achse bei `y=6`, weil `t=6`

S. 115/9

  • siehe S. 113/1
  • desmos!

Aber wirklich nur klicken, wenn du nicht weiter weisst 😁

Aber wirklich nur klicken, wenn du nicht weiter weisst 😁

S. 115/9 a

  • `t=-15`, weil die Gerade die y-Achse bei `-15` schneidet
  • mehrere Möglichkeiten das Anstiegsdreieck zu erstellen (hier nur zwei):
    • rot (vom Punkt `(15|15)` zum Punkt `(5|-5)`):
      • `Delta x = -10`
      • `Delta y = -20`
      • `m=(Delta y)/(Delta x)=(-20)/(-10)=2`
    • blau (vom Punkt `(0|-15)` zum Punkt `(5|-5)`):
      • `Delta x = 5`
      • `Delta y = 10`
      • `m=(Delta y)/(Delta x)=(10)/(5)=2`
  • → `y=2x-15`
  • Prüfen mit desmos!

(Bild anklicken für groß)

📘 S. 114: Geradenschar und Geradenbüschel

S. 114/4

  • Arbeite die Aufgaben genau durch.
  • Die Begriffe sind wichtig.
  • Prüfe mit desmos.
  • Was fällt dir bei den Funktionsgleichungen (D) bis (G) an den Funktionsgleichungen auf?

Aber nur klicken, wenn du wirklich nicht weiterkommst. Erst denken! 🧠

Aber nur klicken, wenn du wirklich nicht weiterkommst. Erst denken! 🧠

S. 114/4 b

  • Schau dir die Parameter (`m`, `t`) jeder Funktion genau an und entscheide anhand der Eigenschaften, zu welcher Geraden die Funktion passt.
  • Beispiel:
    • ① `y=2x+1` passt nicht zu (A), weil bei ① `t=1` ist und (A) die y-Achse bei `y=2` schneidet.
    • ① passt auch nicht zu (B), weil (B) eine proportionale Funktion ist und damit `t=0` sein müsste.
    • ① passt auch nicht zu (C), weil bei (C) `t=-1` ist
    • vielleicht (D)? Ok. `t` stimmt schonmal, weil (D) die y-Achse bei `1` schneidet und bei ① `t=1` ist. Außerdem hat (D) den Anstieg `m=2` (von `(0|1)` eins nach rechts (`Delta x = 1`) und zwei nach oben (`Delta y = 1`). `m=(Delta y)/(Delta x)=2/1=2`
    • YES! ① ist (D)

S. 115/8

  • Achtung! „Rechnerisch!“
  • Mache die Punktprobe und entscheide.
  • Prüfe mit desmos!

Klick für Hilfe, wenn du nicht weiter kommst. 🆘

Klick für Hilfe, wenn du nicht weiter kommst. 🆘

S. 115/8 ①

  • Beispiel 1: Punkt `A` in ① einsetzen und schauen, ob es eine wahre Aussage ist:

`-3 = 1/3 ⋅ 1 -4`

`-3 = 1/3 - 4`

`-3 = 1/3 - 12/3 = -11/3` (`-3 != -11/3`) f. A. → Punkt `A` liegt nicht auf dem Graphen von ①

(f. A. heißt „falsche Aussage“)

  • Beispiel 2: Punkt `E` in ① einsetzen:

`-3 = 1/3 * 3 - 4`

`-3 = 1 - 4`

`-3 = -3` w. A. → Punkt `E` liegt auf dem Graphen von ①

(w. A. heißt „wahre Aussage“)

S. 115/10

  • Setze die entsprechende x- bzw. y-Koordinate in die Funktionsgleichung und berechne die fehlende Koordinate.
  • Achtung! Bei der Berechnung der x-Koordinate musst du eine ÄU (Äquivalenz-Umformung) vornehmen!

Klicke für den Notfall 🚑

Klicke für den Notfall 🚑

S. 115/10 a

  • y-Koordinate ist gesucht. Das ist einfacher, als wenn die x-Koordinate gesucht ist.
  • Setze die gegebene x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne y.

`y=x+5` Punkt `(x|y) = (1|y)`

`y=1+5`

`y=6`

Der Graph der Funktion `y=x+5` geht also durch den Punkt `(1|6)`. Siehe Bild.

S. 115/10 b

  • Achtung! Die Funktion steht im LB mit `y=2-0,5x`.
  • Erst umformen in die Form `y=mx+t`: `y=-0,5x+2` (Achtung, das `-` (Minus) gehört zu `0,5`!)
  • Es ist also `m=-0,5` und `t=2`!
  • Jetzt den Punkt `(x|y) = (x|0)` in die Funktionsgleichung einsetzen und nach `x` äquivalent umstellen:

`y=-0,5 x +2` (Funktionsgleichung)

`0=-0,5 * x + 2 \ \ \ |-2` (gegebenes y einsetzen, beide Seiten `-2`)

`-2 = -0,5 x \ \ \ |:(-0,5)` (beide Seiten durch `-0,5`)

`4 = x` (zugehörige x-Koordinate ist also `4`)

  • Die Funktion `y=-0,5x+1` läuft durch den Punkt `(4|0)`

desmos für beide Aufgaben. Klick für groß!

📘 S. 116: Nullstelle `x_0`

S. 117/1

  • Bestimme erst die Eigenschaften mit Begründung (QV, Steilheit, y-Achsenabschnitt).
  • Gehe wie beim Beispiel I b) auf Seite 116 vor.
  • Solltest du Probleme mit ÄU haben, dann stelle sie ab.
  • Prüfe mit desmos.

Klicken, wenn du nicht weiterkommst … 😬

Klicken, wenn du nicht weiterkommst … 😬

S. 117/1 a

  • Gesucht ist die Nullstelle `x_0`.
  • Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten `(x_0|0)`.
  • Der gesuchte Punkt hat also die y-Koordinate `0`.
  • Für `y` `0` in die Funktionsgleichung `y=5x-4` einsetzen und äquivalent nach `x` umformen:

`0 = 5x - 4 \ \ \ \ |+4`

`4 = 5x \ \ \ \ |:5`

`4/5 = x_0 \ \ \ \ (x_0 = 0,8)`

Klick für groß!

S. 117/2

  • Begründe deine Entscheidungen genau.
  • Schreibe Sätze!
  • ③ nicht.

Was du kommst nicht weiter? Ok. Klick! 🐍

Was du kommst nicht weiter? Ok. Klick! 🐍

S. 117/2 ②

  • Schau dir im LB auf S. 110 an, was der Begriff „fallend“ bedeutet.
  • Mehr kann ich dir nicht helfen.
  • Denke nach 😁

S. 117/4

  • Ließ genau! Was ist gesucht?
  • Wie kannst du es bestimmen.
  • Rechnerisch? Zeichnerisch? Beides?
  • Prüfe mit desmos!

Uhh! Zu schwer? Klick! 🙄

Uhh! Zu schwer? Klick! 🙄

Rechnerisch:

  • `t` ist gesucht!
  • Wenn `x_0 = 2` die Nullstelle der Funktion ist, dann kannst du den Punkt `(x|y) = (2|0)` in die Funktionsgleichung `y=-3/2 x +t` einsetzen. Der Punkt liegt auf der Geraden, deshalb darfst du ihn einsetzen.
  • Damit ergibt sich: `0=-3/2 * 2 + t`.
  • Eine Gleichung. Eine Unbekannte.
  • Jetzt kannst du mit ÄU die Gleichung nach `t` umstellen.
  • desmos!

Zeichnerisch:

  • Zeichne die Funktion ① `y=0,5 x + 3`.
  • Die Funktion `y=- 3/2 x` ist parallel zur gesuchten Funktion ② `y= -3/2 x + t`, da beide den gleichen Anstieg haben (Vergleiche LB S. 114).
  • Zeichne `y=-3/2x`!
  • Verschiebe diese Funktion parallel (mit dem Geodreieck) so, dass sie die x-Achse bei `x_0=2` schneidet.
  • Bestimme das `t` als Schnittpunkt der verschobenen Funktion mit der y-Achse.

S. 117/3

  • Schließe aus den unterschiedlichen Angaben auf die Parameter der Funktion.
  • Du brauchst die Punktprobe, ÄU und all dein Wissen über lineare Funktionen.
  • Diese Aufgabe ist wichtig für das Verständnis.
  • Löse sie komplett.
  • Prüfe mit desmos!

Erst selbst versuchen, dann hier klicken 😜

Erst selbst versuchen, dann hier klicken 😜

S. 117/3 c

  • Gegeben: Nullstelle `N(4|0)`; y-Achsenabschnitt `P(0|4)`
  • Gesucht: Funktionsgleichung `y=mx+t` (also `m` und `t`)
  • `t=4`, weil der y-Achsenabschnitt `4` ist.
  • Wir haben also bisher: `y=mx+4`.
  • Es fehlt nur noch das `m`.
  • `N` in die halbfertige Funktionsgleichung einsetzen und nach `m` umstellen:

`0=m * 4 + 4 \ \ \ \ |-4`

`-4 = m * 4 \ \ \ \ |:4`

`m=-1`

→ Ergebnis: `y=-1 * x + 4` oder besser: `y=-x+4`

S. 117/5

  • Anspruchsvolle Aufgabe!
  • Beachte die Spalte rechts neben der Aufgabe.
  • Schau dir die Parameter der Funktionen genau an.
  • Entscheide mit deinem Wissen über lineare Funktionen.
  • Prüfe mit desmos!

Erst überlegen, dann schummeln 😫

Erst überlegen, dann schummeln 😫

S. 117/5 b ①

  • `y_1`: `m_1=1/2`; `t_1=-2`
  • `y_2`: `m_2=-1/3`; `t_2=1`
  • `y_3`: `m_3=1/2`; `t_3=3`
  • → `m_1=m_3`: Gerade `y_1` und `y_3` sind parallel
  • → `m_2 != m_1` und `m_2 != m_3`: Gerade `y_2` schneidet `y_1` und `y_3`
  • Bild links unten in der rechten Spalte

Klick für größer!

📘 S. 118: Differenzenquotient

S. 119/2

  • Wie im Beispiel auf dem AB oder im Buch S. 119 I.
  • Gehe langsam und konzentriert vor.
  • VOR! ZEI! CHEN!
  • Prüfe jeden Schritt genau.
  • Prüfe mit Punktprobe UND desmos.
  • Finde deinen Fehler, solltest du einen haben.

Ok. Ein Beispiel. Aber erst selbst probieren 🔐

Ok. Ein Beispiel. Aber erst selbst probieren 🔐

S. 119/2 d

`(x_1|y_1) = (-7,5|6)`; `(x_2|y_2) = (-2,5|3)`

`m = (y_2 - y_2)/(x_2 - x_1) = (3 - 6)/(-2,5 - (-7,5)) = (-3)/5 = - 3/5`

  • Vorläufige Funktionsgleichung: `y= - 3/5 x + t`
  • Einen Punkt (A oder B) von vorläufige Funktionsgleichung einsetzen
  • A:

`6 = - 3/5 * (-7,5) + t`

`6 = 9/2 + t \ \ \ \ |- 9/2`

`(6 - 9/2 = 12/2 - 9/2 = 3/2)`

`3/2 = t`

→ `y=- 3/5 x + 3/2`

  • Punktprobe für A (A in Funktionsgleichung einsetzen):

`6 = - 3/5 * (-7,5) + 3/2`

`6 = - 3/5 * (- 15/2) + 3/2`

`6 = 45/10 + 3/2`

`6 = 45/10 + 15/10 = 60/10 = 6` w. A. → Punkt liegt auf Graphen der Funktion `y=- 3/5 x + 3/2`

  • Punkt B genau so machen! 😁

Klick für groß.

S. 119/5

  • Begründungen sind wichtig. Schreibe Sätze!
  • Für diese Aufgabe brauchst du alles Wissen, was du über lineare Funktionen hast.
  • Nutze das Lehrbuch und die ABs.

S. 119/3

  • Versuche so genau, wie möglich zu antworten.
  • Formuliere deine Aussagen in ganzen Sätzen.

Eigentlich gibt es da nichts zum Schummeln. Trotzdem klicken? 😫

Eigentlich gibt es da nichts zum Schummeln. Trotzdem klicken? 😫

  • Überprüfe doch erst einmal mit der Punktprobe, ob das Ergebnis stimmt.
  • Ja? Nein?
  • Wo liegt der Fehler?
  • Berichtige ihn mit der korrekten Rechnung.

S. 119/4

  • Anspruchsvolle Aufgabe.
  • Dazu brauchst du all dein Wissen.
  • Versuche es. Denke gut nach!
  • Nutze die Kästen im Lehrbuch und/oder die ABs.

Hilfe? Jetzt schon? 👨‍🚀

Hilfe? Jetzt schon? 👨‍🚀

S. 119/4 d

  • „Parallel zu `y=-1,5 x +6`“ heißt, der Anstieg der gesuchten Funktion ist `m=-1,5`
  • Gerade geht durch `(-3|5)` heißt: Punkt einsetzen:

`5 = -1,5 * (-3) + t`

  • Cool. Da fehlt ja nur noch `t`
  • nach `t` umstellen und Funktionsgleichung aufstellen.
  • Prüfen mit desmos.

S. 119/6

  • Begründe deine Entscheidungen mit ganzen Sätzen: „⑥ gehört zu (E), weil …“.
  • Gehe systematisch vor:
    • Kann ① zu (A) gehören? Ja/Nein, weil …
    • Kann ② zu (A) gehören? Ja/Nein, weil …
  • Beachte das Lösungswort auf der rechten Seite.
  • Google doch mal nach dem Namen, wenn du Lust hast. 😖

Ok, ein Beispiel. Aber erst selbst versuchen … 🤡

Ok, ein Beispiel. Aber erst selbst versuchen … 🤡

  • ① gehört nicht zu (A), weil `15 != -6 * (-2) -3` (Punktprobe) ist. (Hinweis: Wenn ein Punkt nicht auf der Geraden liegt, brauchst du die anderen gar nicht prüfen. Bei einer Wertetabelle müssen alle Punkte auf dem Graphen liegen, damit Wertetabelle und Graph zusammengehören.)
  • ① gehört zu (D), weil bei allen drei Wertepaaren der Wertetabelle wahre Aussagen bei der Punktprobe entstehen (Rechnungen müssen dabei stehen).
  • Einige Aufgaben kannst du nicht mit Punktprobe erfüllen.
  • Da musst du dir etwas anderes einfallen lassen 😁
  • Formuliere gute Begründungen!
  • Versuche Möglichkeiten zu finden, deine Antworten zu prüfen.
  • Nicht! Cheaten! Mit! Desmos!

📘 S. 130: Zusammenfassung / "Das kann ich"

S. 128/2

  • Achtung Aufgabenstellung genau lesen und die Eigenschaften einer proportionalen Funktion wiederholen.
  • Kasten S. 104 beachten!
  • Prüfe, indem du alle Punkte in desmos einzeichnest und dann schaust, ob sie alle auf einer Geraden liegen.

Ok, ein Beispiel. Aber erst selbst versuchen … 👩‍🚀

Ok, ein Beispiel. Aber erst selbst versuchen … 👩‍🚀

S. 128/2 a

  • alle Wertetabellen sind proportionale Funktionen
  • deshalt: Quotient (Division) von zugeordneter und Ausgangsgröße gleich → `m`

`m=56/7=8` → `y=8x`

  • Alles klar?

S. 128/5

  • Nicht mit dem Dreisatz lösen, sondern versuchen eine proportionale Funktion zu nutzen.
  • Schreibe zu jeder Aufgabe die Funktionsgleichung mit auf.

Langsam! Nicht so schnell aufgeben … 🐄

Langsam! Nicht so schnell aufgeben … 🐄

S. 128/5a

  • Zuordnung: Gewicht [kg] ↦ Preis [€]
  • 0,1 kg ↦ 0,88 €
  • proportionale Funktion, weil 0 kg ↦ 0 €
  • `m=(0,88)/(0,1)=8,8` → `y=8,8x`
  • 600 g = 0,6 kg → Preis `y=8,8*0,6=5,28`
  • 600 Gramm kosten 5,28 €.

S. 128/6

  • Versuche die Aufgabe mit Hilfe des Anstiegsdreicks zu lösen `m=(Delta y)/(Delta x)`.

Hier klicken, wenn du nicht weiter kommst 🙄

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  • Punkt suchen → `A(4,5|1,5)`
  • von `(0|0)` nach `A`
  • `Delta x = 4,5` (von `(0|0)` aus 4,5 in Richtung x-Achse)
  • `Delta y = 1,5` (von dort aus 1,5 in Richtung y-Achse)
  • `m=(Delta y)/(Delta x) = (1,5)/(4,5) = 1/3 ~~ 0,33`
  • → `y=0,33x`
  • Das wäre auch einfacher mit dem Punkt `(3|1)` gegangen 😖

S. 128/7

  • Das muss sicher klappen.
  • Entweder mit dem Anstiegsdreieck oder mit Hilfe des Differenzenquotienten.
  • Schau dir das Beispiel auf S. 118 genau an.
  • Desmos!

Hier klicken, wenn du nicht weiter kommst 🎪

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S. 128/7a

  1. `t` bestimmen (Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse) → `t=-1`
  2. `m` mit Hilfe des Differenzenquotienten und zwei Punkten bestimmen ODER Anstiegsdreieck
  • Diffenenzenquotient: Punkte `A(2|0)`; `B(0|-1)`
  • `m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)=(-1-0)/(0-2)=(-1)/-2=1/2=0,5`
  • aus `t=-1` und `m=0,5` folgt: `y=0,5x-1`

S. 128/9

  • Wertetabelle oder Anstiegsdreieck.
  • Wertetabelle auch mit TR versuchen!
  • Desmos!

S. 129/9

  • Gehe systematisch vor.
  • Wenn der Punkt auf dem Graphen liegt, so gibt die Punktprobe eine wahre Aussage.
  • Desmos!

Erst selbst versuchen ‼

Erst selbst versuchen ‼

S. 129/9a

  • Punkt `A(8|-2)`; Funktion `y=2/3 x+1`
  • Punkt einsetzen

`-2 = 2/3 * 8 + 1` `-2 = 16/3 + 1` → f. A. → Punkt `A` liegt nicht auf dem Graphen

S. 129/10

  • Entsprechende Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen und umstellen.
  • Desmos!

Nicht cheaten 🚧

Nicht cheaten 🚧

S. 129/10 Punkt `A`

  • x-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung und nach y Berechnen
  • bzw. y-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung und nach x umstellen

Punkt `B`:

`y=5/3 x - 6` (`y=-1` für y einsetzen)

`-1 = 5/3 * x -6 \ \ \ |+6`

`5 = 5/3 * x \ \ \ |: 5/3 (* 3/5)`

`3=x`

→ `(3|-1)` liegt auf dem Graphen

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