S. 113/1 ①

• `t=3`, weil Gerade y-Achse bei `3` schneidet.
• Vom Punkt `(0|3)` `-1` „nach unten“ → `Delta y = -1`
• von dort aus `-2` „nach links“ → `Delta x = -2`
• `m = (Delta y)/(Delta x) = (-1)/(-2) = 1/2`
• Also: `m = 1/2`, `t = 3` → `y=1/2 x + 3`
• Eigenschaften:
  • Gerade müsste von I nach III laufen, weil `1/2 > 0` ist: tut sie
  • Gerade müsste flach sein, weil `|m| < 1` ist: ist sie
  • Gerade müsste y-Achse bei 3 schneiden, weil `t=3`: tut sie
  • desmos:

Klicke auf den Graphen für ein großes Bild!

S. 113/2 ①

• Erstelle eine Wertetabelle mit ca. 5 Werten:

(Bilder anklicken für groß)

• Punkte in KS einzeichnen

• Punkte mit Gerade verbinden

• steil: steiler, als `y=x` (`45°`)
• Schreibe dir die Antwort(en) auf Aufgabe b) genau auf. Begründe auch anhand vom Parameter `m`

S. 115/7 b

• Beide Punkte in ein KS einzeichnen.
• Gerade durch beide Punkte.
• `t` ablesen (Schnittpunkt der Geraden mit y-Achse) → `t=6`
• `m` mit Anstiegsdreieck bestimmen:
  • vom Punkt `(0|6)` zum Punkt `(2|4)`
  • `Delta y = -2` (weil entgegen der y-Achse)
  • `Delta x = 2` (weil in Richtung y-Achse)
• `m = (Delta y)/(Delta x) = 2/(-2) = -1`
• → `y=-1 ⋅ x+6` oder besser,
  weil `-1 ⋅ x = -x`:
  `y=-x+6`

Bild anklicken für groß)

• Eigenschaften:
  • II nach IV, weil `m<0`
  • weder steil noch flach („normal“), weil `|m|=1`
  • y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt der Geraden mit y-Achse bei `y=6`, weil `t=6`

S. 115/9 a

• `t=-15`, weil die Gerade die y-Achse bei `-15` schneidet
• mehrere Möglichkeiten das Anstiegsdreieck zu erstellen (hier nur zwei):
  • rot (vom Punkt `(15|15)` zum Punkt `(5|-5)`):
    • `Delta x = -10`
    • `Delta y = -20`
    • `m=(Delta y)/(Delta x)=(-20)/(-10)=2`
  • blau (vom Punkt `(0|-15)` zum Punkt `(5|-5)`):
    • `Delta x = 5`
    • `Delta y = 10`
    • `m=(Delta y)/(Delta x)=(10)/(5)=2`
• → `y=2x-15`
• Prüfen mit desmos!

(Bild anklicken für groß)

S. 114/4 b

• Schau dir die Parameter (`m`, `t`) jeder Funktion genau an und entscheide anhand der Eigenschaften, zu welcher Geraden die Funktion passt.
• Beispiel:
  • ① `y=2x+1` passt nicht zu (A), weil bei ① `t=1` ist und (A) die y-Achse bei `y=2` schneidet.
  • ① passt auch nicht zu (B), weil (B) eine proportionale Funktion ist und damit `t=0` sein müsste.
  • ① passt auch nicht zu (C), weil bei (C) `t=-1` ist
  • vielleicht (D)? Ok. `t` stimmt schonmal, weil (D) die y-Achse bei `1` schneidet und bei ① `t=1` ist. Außerdem hat (D) den Anstieg `m=2` (von `(0|1)` eins nach rechts (`Delta x = 1`) und zwei nach oben (`Delta y = 1`). `m=(Delta y)/(Delta x)=2/1=2`
  • YES! ① ist (D)

S. 115/8 ①

• Beispiel 1: Punkt `A` in ① einsetzen und schauen, ob es eine wahre Aussage ist:

`-3 = 1/3 ⋅ 1 -4`

`-3 = 1/3 - 4`

`-3 = 1/3 - 12/3 = -11/3` (`-3 != -11/3`) f. A. → Punkt `A` liegt nicht auf dem Graphen von ①

(f. A. heißt „falsche Aussage“)

• Beispiel 2: Punkt `E` in ① einsetzen:

`-3 = 1/3 * 3 - 4`

`-3 = 1 - 4`

`-3 = -3` w. A. → Punkt `E` liegt auf dem Graphen von ①

(w. A. heißt „wahre Aussage“)

S. 115/10 a

• y-Koordinate ist gesucht. Das ist einfacher, als wenn die x-Koordinate gesucht ist.
• Setze die gegebene x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne y.

`y=x+5` Punkt `(x|y) = (1|y)`

`y=1+5`

`y=6`

Der Graph der Funktion `y=x+5` geht also durch den Punkt `(1|6)`. Siehe Bild.

S. 115/10 b

• Achtung! Die Funktion steht im LB mit `y=2-0,5x`.
• Erst umformen in die Form `y=mx+t`: `y=-0,5x+2` (Achtung, das `-` (Minus) gehört zu `0,5`!)
• Es ist also `m=-0,5` und `t=2`!
• Jetzt den Punkt `(x|y) = (x|0)` in die Funktionsgleichung einsetzen und nach `x` äquivalent umstellen:

`y=-0,5 x +2` (Funktionsgleichung)

`0=-0,5 * x + 2 \ \ \ |-2` (gegebenes y einsetzen, beide Seiten `-2`)

`-2 = -0,5 x \ \ \ |:(-0,5)` (beide Seiten durch `-0,5`)

`4 = x` (zugehörige x-Koordinate ist also `4`)

• Die Funktion `y=-0,5x+1` läuft durch den Punkt `(4|0)`

desmos für beide Aufgaben. Klick für groß!

S. 117/1 a

• Gesucht ist die Nullstelle `x_0`.
• Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten `(x_0|0)`.
• Der gesuchte Punkt hat also die y-Koordinate `0`.
• Für `y` `0` in die Funktionsgleichung `y=5x-4` einsetzen und äquivalent nach `x` umformen:

`0 = 5x - 4 \ \ \ \ |+4`

`4 = 5x \ \ \ \ |:5`

`4/5 = x_0 \ \ \ \ (x_0 = 0,8)`

Klick für groß!

S. 117/2 ②

• Schau dir im LB auf S. 110 an, was der Begriff „fallend“ bedeutet.
• Mehr kann ich dir nicht helfen.
• Denke nach 😁

Rechnerisch:

• `t` ist gesucht!
• Wenn `x_0 = 2` die Nullstelle der Funktion ist, dann kannst du den Punkt `(x|y) = (2|0)` in die Funktionsgleichung `y=-3/2 x +t` einsetzen. Der Punkt liegt auf der Geraden, deshalb darfst du ihn einsetzen.
• Damit ergibt sich: `0=-3/2 * 2 + t`.
• Eine Gleichung. Eine Unbekannte.
• Jetzt kannst du mit ÄU die Gleichung nach `t` umstellen.
• desmos!

Zeichnerisch:

• Zeichne die Funktion ① `y=0,5 x + 3`.
• Die Funktion `y=- 3/2 x` ist parallel zur gesuchten Funktion ② `y= -3/2 x + t`, da beide den gleichen Anstieg haben (Vergleiche LB S. 114).
• Zeichne `y=-3/2x`!
• Verschiebe diese Funktion parallel (mit dem Geodreieck) so, dass sie die x-Achse bei `x_0=2` schneidet.
• Bestimme das `t` als Schnittpunkt der verschobenen Funktion mit der y-Achse.

S. 117/3 c

• Gegeben: Nullstelle `N(4|0)`; y-Achsenabschnitt `P(0|4)`
• Gesucht: Funktionsgleichung `y=mx+t` (also `m` und `t`)
• `t=4`, weil der y-Achsenabschnitt `4` ist.
• Wir haben also bisher: `y=mx+4`.
• Es fehlt nur noch das `m`.
• `N` in die halbfertige Funktionsgleichung einsetzen und nach `m` umstellen:

`0=m * 4 + 4 \ \ \ \ |-4`

`-4 = m * 4 \ \ \ \ |:4`

`m=-1`

→ Ergebnis: `y=-1 * x + 4` oder besser: `y=-x+4`

S. 117/5 b ①

• `y_1`: `m_1=1/2`; `t_1=-2`
• `y_2`: `m_2=-1/3`; `t_2=1`
• `y_3`: `m_3=1/2`; `t_3=3`
• → `m_1=m_3`: Gerade `y_1` und `y_3` sind parallel
• → `m_2 != m_1` und `m_2 != m_3`: Gerade `y_2` schneidet `y_1` und `y_3`
• Bild links unten in der rechten Spalte

Klick für größer!

S. 119/2 d

`(x_1|y_1) = (-7,5|6)`; `(x_2|y_2) = (-2,5|3)`

`m = (y_2 - y_2)/(x_2 - x_1) = (3 - 6)/(-2,5 - (-7,5)) = (-3)/5 = - 3/5`

• Vorläufige Funktionsgleichung: `y= - 3/5 x + t`
• Einen Punkt (A oder B) von vorläufige Funktionsgleichung einsetzen
• A:

`6 = - 3/5 * (-7,5) + t`

`6 = 9/2 + t \ \ \ \ |- 9/2`

`(6 - 9/2 = 12/2 - 9/2 = 3/2)`

`3/2 = t`

→ `y=- 3/5 x + 3/2`

• Punktprobe für A (A in Funktionsgleichung einsetzen):

`6 = - 3/5 * (-7,5) + 3/2`

`6 = - 3/5 * (- 15/2) + 3/2`

`6 = 45/10 + 3/2`

`6 = 45/10 + 15/10 = 60/10 = 6` w. A. → Punkt liegt auf Graphen der Funktion `y=- 3/5 x + 3/2`

• Punkt B genau so machen! 😁

Klick für groß.

• Überprüfe doch erst einmal mit der Punktprobe, ob das Ergebnis stimmt.
• Ja? Nein?
• Wo liegt der Fehler?
• Berichtige ihn mit der korrekten Rechnung.

S. 119/4 d

• „Parallel zu `y=-1,5 x +6`“ heißt, der Anstieg der gesuchten Funktion ist `m=-1,5`
• Gerade geht durch `(-3|5)` heißt: Punkt einsetzen:

`5 = -1,5 * (-3) + t`

• Cool. Da fehlt ja nur noch `t`
• nach `t` umstellen und Funktionsgleichung aufstellen.
• Prüfen mit desmos.

• ① gehört nicht zu (A), weil `15 != -6 * (-2) -3` (Punktprobe) ist. (Hinweis: Wenn ein Punkt nicht auf der Geraden liegt, brauchst du die anderen gar nicht prüfen. Bei einer Wertetabelle müssen alle Punkte auf dem Graphen liegen, damit Wertetabelle und Graph zusammengehören.)
• …
• ① gehört zu (D), weil bei allen drei Wertepaaren der Wertetabelle wahre Aussagen bei der Punktprobe entstehen (Rechnungen müssen dabei stehen).
• …
• Einige Aufgaben kannst du nicht mit Punktprobe erfüllen.
• Da musst du dir etwas anderes einfallen lassen 😁
• Formuliere gute Begründungen!
• Versuche Möglichkeiten zu finden, deine Antworten zu prüfen.
• Nicht! Cheaten! Mit! Desmos!

S. 128/2 a

• alle Wertetabellen sind proportionale Funktionen
• deshalt: Quotient (Division) von zugeordneter und Ausgangsgröße gleich → `m`

`m=56/7=8` → `y=8x`

• Alles klar?

S. 128/5a

• Zuordnung: Gewicht [kg] ↦ Preis [€]
• 0,1 kg ↦ 0,88 €
• proportionale Funktion, weil 0 kg ↦ 0 €
• `m=(0,88)/(0,1)=8,8` → `y=8,8x`
• 600 g = 0,6 kg → Preis `y=8,8*0,6=5,28`
• 600 Gramm kosten 5,28 €.

• Punkt suchen → `A(4,5|1,5)`
• von `(0|0)` nach `A`
• `Delta x = 4,5` (von `(0|0)` aus 4,5 in Richtung x-Achse)
• `Delta y = 1,5` (von dort aus 1,5 in Richtung y-Achse)
• `m=(Delta y)/(Delta x) = (1,5)/(4,5) = 1/3 ~~ 0,33`
• → `y=0,33x`
• Das wäre auch einfacher mit dem Punkt `(3|1)` gegangen 😖

S. 128/7a

1. `t` bestimmen (Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse) → `t=-1`
2. `m` mit Hilfe des Differenzenquotienten und zwei Punkten bestimmen ODER Anstiegsdreieck

• Diffenenzenquotient: Punkte `A(2|0)`; `B(0|-1)`
• `m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)=(-1-0)/(0-2)=(-1)/-2=1/2=0,5`
• aus `t=-1` und `m=0,5` folgt: `y=0,5x-1`

S. 129/9a

• Punkt `A(8|-2)`; Funktion `y=2/3 x+1`
• Punkt einsetzen

`-2 = 2/3 * 8 + 1` `-2 = 16/3 + 1` → f. A. → Punkt `A` liegt nicht auf dem Graphen

S. 129/10 Punkt `A`

• x-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung und nach y Berechnen
• bzw. y-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung und nach x umstellen

Punkt `B`:

`y=5/3 x - 6` (`y=-1` für y einsetzen)

`-1 = 5/3 * x -6 \ \ \ |+6`

`5 = 5/3 * x \ \ \ |: 5/3 (* 3/5)`

`3=x`

→ `(3|-1)` liegt auf dem Graphen