Schreibweise von Mengen
Mengen können in drei verschiedenen Arten aufgeschrieben (dargestellt) werden:
- Aufzählung (aufzählende Form)
- Mengendiagramm (Venn-/Venn-Euler-Diagramm)
- Beschreibende Form
Aufzählung
Bei der Aufzählung (aufzählende Form) werden die Elemente, die zur Menge gehören mit Strichpunkt (Semikolon) getrennt zwischen geschweifte Klammern geschrieben.
`T={`Hansi; Beate; Kurt; Ursula; Sigi; Gerd; Renate; …`}`
Menge `G` der geraden Zahlen bis (einschließlich) 10:
`G={2; 4; 6; 8; 10}`
Menge `U` der ungeraden Zahlen bis (einschließlich) 10:
`U={1; 3; 5; 7; 9}`
Hinweise:
- Mengen erhalten große lateinische Buchstaben als Namen.
- Es dürfen keine Elemente doppelt aufgezählt werden.
- Bei sehr vielen Elementen verwendet man Auslassungspunkte. Dabei ist zu beachten, dass so viele Elemente aufgeschrieben werden, dass eindeutig erkennbar ist, welche Elemente gemeint sind:
`P={3; 6; 9; …; 21}` oder
`Q={…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}` - Die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle. Für eine bessere Verständlichkeit ist es aber oft von Nutzen, die Element in einer sinnvollen Reihenfolge aufzuschreiben (der Größe nach, nach Alter, nach Alphabet, …).
- Die aufzählende Form ist nur selten geeignet. Sie ist oft unübersichtlich und nicht immer eindeutig. Für einige Betrachtungen ist sie dagegen sehr gut geeignet (Mengenoperationen, Mengen relationen).
Mengendiagramm
John Venn (1834-1923) und Leonard Euler (1707-1783) waren zwei Mathematiker, die sich der mathematischen Lehre der Mengen verschrieben hatten.
Venn-Diagramme (sie werden auch Mengendiagramme oder Venn-Euler-Diagramme genannt) sind recht einfach zu erstellen. Sie haben den Vorteil Beziehungen zwischen Mengen sehr gut zu verdeutlichen. Sie bestehen aus einer geschlossenen Kurver (Blase oder Kreis), in den alle Elemente geschrieben werden, die zur Menge gehören. Der Name der Menge wird mit einem Strich an die Menge geschrieben. Auch hier verwendet man Auslassungspunkte für umfangreiche Mengen. Die Strichpunkte (Semikola) lässt man weg.
Die Beispiele als Mengendiagramm:
Hinweise:
- keine doppelten Elemente
- Auslassungspunkte sind erlaubt, wenn sinnvoll
- Reihenfolge spielt keine Rolle
- sinnvoll, um Beziehungen (Relationen) zwischen Mengen zu verdeutlichen
Beschreibende Form
In der darstellenden Form schreibt man die Eigenschaften der Elemente einer Menge in mathematischer Form auf. Dazu verwendet man verschiedene Symbole, von denen hier einige aufgeführt sind:
| Zeichen | Bedeutung |
|---|---|
| `<; >; ⇐; >=; \ne` | Relationszeichen: kleiner als, größer als, kleiner oder gleich, größer oder gleich, ungleich |
| `|` | hat leider zwei Bedeutungen: teilt `2|14` („2 teilt 14“ ohne Rest) und „mit der Eigenschaft“ (siehe weiter unten) |
| `\mathbb{N}; \mathbb{Z}; \mathbb{Q}; \mathbb{R}; \mathbb{P} …` | Zahlenmengen: Natürliche Zahlen, Ganze Zahlen, Rationale Zahlen, Reelle Zahlen (siehe Zahlenmengen) |
| `\in; \notin` | „ist Element von/ist nicht Element von“: drückt aus, dass ein Element zu einer Menge gehört/nicht gehört Beispiel: `\text{Hansi} \in T` oder `2 \in G` oder `7 \notin G` |
| `\vee` | mathematisches „Oder“: eine von beiden oder beide Bedingungen müssen erfüllt sein |
| `\wedge` | mathematisches „Und“: alle (beide) Bedingungen muss erfüllt sein |
| `{}` oder `\emptyset` | Leere Menge: Menge, die keine Elemente enthält |
Beispiele
| Schreibweise | Erklärung | Aufzählung |
|---|---|---|
| `A={x | 2<x<10 \wedge x \in \mathbb{N}}` | „Menge `A` sind alle Elemente x, mit der Eigenschaft: 2 ist kleiner als x und x ist kleiner als 10 und x muss eine natürliche Zahl sein.“ | `A={3; 4; 5; …; 9}` |
| Um in der Menge `A` enthalten zu sein, muss jedes Element in diesem Beispiel drei Voraussetzungen erfüllen: 1) Die Zahl muss größer als 2 sein (`2<x`). 2) Die Zahl muss kleiner als 10 sein (`x<10`). 3) Die Zahl muss Element der Menge `\mathbb{N}` sein, also eine natürliche Zahl. | ||
| `B={x|x<4 \wedge x>6 \wedge x \in \mathbb{N}}` | „Menge `B` sind alle Elemente x, mit der Eigenschaft: x muss kleiner als 4 sein und x muss größer als 6 sein und x muss eine Natürliche Zahl sein. | `B={}` oder `B=\emptyset` |
| Um in der Menge `B` enthalten zu sein, muss jedes Element folgende Eigenschaften haben: 1) Die Zahl muss kleiner als 4 sein. und 2) Die Zahl muss größer als 6 sein. und 3) Die Zahl muss natürlich sein. Da es keine Zahl gibt, die kleiner als 4 UND größer als 6 ist, ist die Menge leer. | ||
| `C={x|x<2 \vee x>10 \wedge x \in \mathbb{Z}}` | „Menge `C` sind alle Elemente x mit der Eigenschaft: x muss kleiner 2 sein oder x muss größer 10 sein. und x muss eine ganze Zahl sein.„ | `C={…; -1; 0; 1; 11; 12; 13; …}` |
| Um Element der Menge `C` zu sein, muss eine Zahl folgende Eigenschaften erfüllen: 1) Sie muss eine Ganze Zahl sein. UND 2) Sie muss kleiner als 2 sein. ODER 3) Sie muss größer als 10 sein. In der Menge sind also alle ganzen Zahlen, die kleiner als 2 sind (`1; 0; -1; -2; …`) ODER die größer als 10 sind (`11; 12; 13; 14; …`). | ||
Üben
Ordne die Mengen zu, die die gleichen Elemente haben. Achtung! Es bleiben Mengen übrig, die keinen Partner haben. Mach dich erst kundig, welche Menge mit `\mathbb{P}` dargestellt ist und welche Elemente sie enthält.
Video
Am besten mit 720-er Auflösung und in Fullscreen!