Wiki mit Mathe drin

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====== Wiederholung Daten und Zufall ======

===== Begriffe =====

  * **Zufallsexperiment/Zufallsversuch**: Vorgang, dessen genauer Ausgang bzw. exaktes Ergebnis nicht vorhersagbar ist
    * nach genauen Regeln
    * alle Ausgänge des Experiments sind vorher bekannt
    * mindestens zwei verschiedene Ausgänge
    * **Beispiel**: Wünzwurf, Würfeln mit n-seitigem Würfel, Lotto, ...
  * **Ergebnismenge $Omega$**: alle möglichen Ausgänge des Experiments
    * $Omega$ heitß "Omega"
    * bestimmter Teil von $Omega$ heißt **Ereignis**
    * Ereignisse sind: sicher, möglich, unmöglich
    * **Beispiel**: 6-er Würfel, einmaliges Würfeln
    * $Omega = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$ (alle möglichen Ereignisse)
    * Ereignis 1: Es wird eine Eins gewürfelt. $A = {1}$ (mögliches Ereignis)
    * Ereignis 2: Es wird eine durch zwei teilbare Zahl gewürfelt. $B = {2; 4; 6}$ (mögliches Ereignis)
    * Ereignis 3: Es wird eine Sieben gewürfelt. $C = {7}$ (unmögliches Ereignis)
    * Ereignis 4: Es wird eine Eins, Zwei, Drei, Vier, Fünf oder Sechs gewürfelt. $D = {1; 2; 3; ...; 6} = Omega$ (sicheres Ereignis)
    * sicheres Ereignis: $D = Omega$
    * mögliches Ereignis: $A subset Omega$ ($A$ ist echte Teilmenge von $Omega$)
    * unmögliches Ereignis: $C cap Omega = emptyset$ ($C$ geschnitten mit $Omega$ ist leere Menge)

==== Beispiel Glücksrad ====

{{ :mathebuch:v10d10z11:bildschirmfoto_2018-02-07_um_17.18.02.png?nolink&200|}}

  * Ein Glücksrad wird **einmal** gedreht.
  * Ergebnismenge: Menge aller möglichen Ausgänge $Omega = {1; 2; 3; ...; 10}$
  * Ereignis: "Gedrehte Zahl ist durch 3 teilbar" $F = {3; 6; 9}$ (möglich)
  * Ereignis: "Gedrehte Zahl ist größer, als 20" $G = {} = emptyset$ (unmöglich)
  * Ereignis: "Gedrehte Zahl ist kleiner, als 11" $H = {1; 2; 3; ...; 10} = Omega$ (sichere)
  * Hinweis: Ereignis und Ergebnis werden oft gleich benutzt!

===== Häufigkeiten =====

  * Experiment wird oft durchgeführt (n-mal)
  * **absolute Häufigkeit $H$**: Anzahl der Versuche, bei der das gewünschte Ereignis auftritt
  * **relative Häufigkeit $h$**: absolute Häufigkeit geteilt durch Anzahl der Versuche
  * **Formel**: $h = H/n$
    * **Beispiel**: 6-er Würfel wird 20 mal geworfen
    * gezählt wird, wie oft eine 3 gewürfelt wird
    * 3 wird 5-mal gewürfelt ($n = 5$)
    * $Omega = {1; 2; 3; ...; 6}$
    * $A = {3}$
    * $H(A) = 5$ ("Die absolute Häufigkeit von Ereignis $A$ ist 5.")
    * $h(A) = (H(A))/n = 5/20 = 0,25$
  * absolute Häufigkeiten werden oft in **Balkendiagrammen** dargestellt
  * relative Häufigkeiten werden oft in **Kreisdiagrammen** dargestellt

===== Wahrscheinlichkeiten =====

  * Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $A$ eintritt: $P(A)$
  * $P(A) = (text(Anzahl der für A günstigen Ereignisse))/(text(Anzahl aller möglichen Ereignisse))$
    * **Beispiel:** Würfel mit einem 6-er Würfel, Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird
    * $Omega = {1; 2; 3; ...; 6}$ (alle möglichen Ereignisse)
    * $A = {2; 4; 6}$ ("günstige" Ereignisse)
    * $P(A) = (text(Anzahl günstige))/(text(Anzahl mögliche)) = 3/6 = 0,5$
    * "Die Wahrscheinlichkeit, dass mit einem 6-er Würfel eine gerade Zahl gewürfelt wird, ist 0,5 oder 50%."

===== Möglichkeiten zum Üben =====

  * Lehrbuch 9/10
  * [[https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/wahrscheinlichkeit/relative-haeufigkeit.shtml|aufgabenfuchs.de: Statistik/Rel. Häufigkeit]]
  * [[https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/wahrscheinlichkeit/wahrscheinlichkeita.shtml|aufgabenfuchs: EInstufige Zufallsexperimente]]
  * [[https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/wahrscheinlichkeit/wahrscheinlichkeitb.shtml|aufgabenfuchs: Mehrstufige Zufallsexperimente]]
  * unterricht.de
    * [[https://www.unterricht.de/Aufgaben/Relative-Haeufigkeit/Mittelstufe|Relative Häufigkeit]]
    * [[https://www.unterricht.de/Aufgaben/Laplace-Wahrscheinlichkeit/Mittelstufe|Laplace]]
    * [[https://www.unterricht.de/Aufgaben/Laplace-Wahrscheinlichkeit-Fortgeschritten/Mittelstufe|Laplace (Fortgeschritten)]]
    * [[https://www.unterricht.de/Aufgaben/Baumdiagramme-Einfuehrung/Mittelstufe|Baumdiagramme]]
    * [[https://www.unterricht.de/Aufgaben/Baumdiagramme-Fortgeschritten/Mittelstufe|Baumdiagramme (Fortgeschritten)]]