Wiederholung Daten und Zufall

Begriffe

  • Zufallsexperiment/Zufallsversuch: Vorgang, dessen genauer Ausgang bzw. exaktes Ergebnis nicht vorhersagbar ist
    • nach genauen Regeln
    • alle Ausgänge des Experiments sind vorher bekannt
    • mindestens zwei verschiedene Ausgänge
    • Beispiel: Wünzwurf, Würfeln mit n-seitigem Würfel, Lotto, …
  • Ergebnismenge $Omega$: alle möglichen Ausgänge des Experiments
    • $Omega$ heitß „Omega“
    • bestimmter Teil von $Omega$ heißt Ereignis
    • Ereignisse sind: sicher, möglich, unmöglich
    • Beispiel: 6-er Würfel, einmaliges Würfeln
    • $Omega = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$ (alle möglichen Ereignisse)
    • Ereignis 1: Es wird eine Eins gewürfelt. $A = {1}$ (mögliches Ereignis)
    • Ereignis 2: Es wird eine durch zwei teilbare Zahl gewürfelt. $B = {2; 4; 6}$ (mögliches Ereignis)
    • Ereignis 3: Es wird eine Sieben gewürfelt. $C = {7}$ (unmögliches Ereignis)
    • Ereignis 4: Es wird eine Eins, Zwei, Drei, Vier, Fünf oder Sechs gewürfelt. $D = {1; 2; 3; \ldots; 6} = Omega$ (sicheres Ereignis)
    • sicheres Ereignis: $D = Omega$
    • mögliches Ereignis: $A subset Omega$ ($A$ ist echte Teilmenge von $Omega$)
    • unmögliches Ereignis: $C cap Omega = emptyset$ ($C$ geschnitten mit $Omega$ ist leere Menge)

Beispiel Glücksrad

  • Ein Glücksrad wird einmal gedreht.
  • Ergebnismenge: Menge aller möglichen Ausgänge $Omega = {1; 2; 3; \ldots; 10}$
  • Ereignis: „Gedrehte Zahl ist durch 3 teilbar“ $F = {3; 6; 9}$ (möglich)
  • Ereignis: „Gedrehte Zahl ist größer, als 20“ $G = {} = emptyset$ (unmöglich)
  • Ereignis: „Gedrehte Zahl ist kleiner, als 11“ $H = {1; 2; 3; \ldots; 10} = Omega$ (sichere)
  • Hinweis: Ereignis und Ergebnis werden oft gleich benutzt!

Häufigkeiten

  • Experiment wird oft durchgeführt (n-mal)
  • absolute Häufigkeit $H$: Anzahl der Versuche, bei der das gewünschte Ereignis auftritt
  • relative Häufigkeit $h$: absolute Häufigkeit geteilt durch Anzahl der Versuche
  • Formel: $h = H/n$
    • Beispiel: 6-er Würfel wird 20 mal geworfen
    • gezählt wird, wie oft eine 3 gewürfelt wird
    • 3 wird 5-mal gewürfelt ($n = 5$)
    • $Omega = {1; 2; 3; \ldots; 6}$
    • $A = {3}$
    • $H(A) = 5$ („Die absolute Häufigkeit von Ereignis $A$ ist 5.“)
    • $h(A) = (H(A))/n = 5/20 = 0,25$
  • absolute Häufigkeiten werden oft in Balkendiagrammen dargestellt
  • relative Häufigkeiten werden oft in Kreisdiagrammen dargestellt

Wahrscheinlichkeiten

  • Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $A$ eintritt: $P(A)$
  • $P(A) = (text(Anzahl der für A günstigen Ereignisse))/(text(Anzahl aller möglichen Ereignisse))$
    • Beispiel: Würfel mit einem 6-er Würfel, Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird
    • $Omega = {1; 2; 3; \ldots; 6}$ (alle möglichen Ereignisse)
    • $A = {2; 4; 6}$ („günstige“ Ereignisse)
    • $P(A) = (text(Anzahl günstige))/(text(Anzahl mögliche)) = 3/6 = 0,5$
    • „Die Wahrscheinlichkeit, dass mit einem 6-er Würfel eine gerade Zahl gewürfelt wird, ist 0,5 oder 50%.“

Möglichkeiten zum Üben

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